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268 LEÇONS ELEMENTAIRES.

Au reste, comme la recherche de l'équation en y peut être pénible parles méthodes ordinaires d'élimination, voici des formules générales dont la démonstration dépend des propriétés connues des équations.

On formera d'abord, d'après les coefficients/?, q, /■,... de la proposée, les quantités x,, x.,, x3,..., de cette manière :

x2 = — pxk — ?.q,

x3 = — px, — qx{ — 3 /',

On substituera dans l'expression dey, dans celles de y2, dey3,.. ., jusqu'à y'", après le développement des termes en x, les quantités x, pour x, x2 pour x2, x3 pour x*,..., et l'on désignera par y,, y2, y3, ... les valeurs dey, y2, y3 , . . . résultant de ces substitutions.

Alors on n'aura plus qu'à former les quantités A, B, C, . . . par les formules

B/, — ky\ -+- y* C -3- ,

et l'on aura cette équation en y

ym — A y"—' -h Bym-- — Cym~3 -+- . . .= o.

La valeur ou plutôt la limite de D, qu'on trouvera par la méthode que nous venons d'exposer, pourra être souvent beaucoup plus petite (ju'il ne serait nécessaire pour faire découvrir toutes les racines; mais il n'y aura à cela d'autre inconvénient que d'augmenter le nombre des substitutions successives à faire pour x dans la proposée. D'ailleurs, lorsqu'on a trouvé autant de résultats qu'il y a d'unités dans l'exposant du degré de l'équation, on peut les continuer aussi loin qu'on veut parla simple addition des différences premières, secondes, etc., parce que

les différences de l'ordre qui répond a ce degré seront toujours constantes.

On a vu plus haut comment on peut décrire la courbe de l'équation proposée par plusieurs points, en donnant successivement aux abscisses ce différentes valeurs, et prenant pour les ordonnées y les valeurs résultantes du premier membre de l'équation; mais on peut trouver aussi ces valeurs de y par une construction fort simple, qui mérite de vous être exposée. Représentons l'équation proposée par

a -+- bx -f- ex"1 -+- dx3 -h . . . = o,

en prenant les termes dans l'ordre inverse; l'équation à la courbe sera

y = a + bx -f- ex"1 -f- dx3 -+■ . . . .

Ayant mené (fig. a) la ligne droite OX, qu'on prendra pour l'axe des

Fig. 2.

abscisses dont O sera l'origine, on prendra sur cette ligne la partie 01 égale à l'unité des quantités a, b, c,..., qu'on peut supposer exprimées par des nombres, et l'on élèvera aux points O, I les perpendiculaires OD, IM. On prendra ensuite sur la ligne OD les parties

0\ = a, AB = 6, BC = c, CD = r/, ...,

et ainsi de suite. Soit maintenant OP = x, et soit menée au point P la perpendiculaire PT. Supposons, par exemple, que d soit le dernier des

coefficients a, b, c,..., en sorte que la proposée ne soit que du troisième degré, et qu'il s'agisse d'avoir la valeur do

j = a + 6^ + ex2 -t- dx*.

Le point D étant ainsi le dernier de ceux qui ont été déterminés sur la perpendiculaire OD, et le point C l'avant-dernier, on mènera par D la parallèle DM à l'axe 01, et par le point M, où cette ligne coupe la perpendiculaire IM, on mènera au point G la droite CM. Ensuite par le point S, où cette droite coupe la perpendiculaire PT, on mènera HSL parallèle à 01, et par le point L, où cette parallèle coupe la perpendiculaire IM, on mènera au point B la droite BL. De même, par le point R, où cette droite coupe la perpendiculaire PT, on mènera la parallèle GRK à 01, et par le point K, où cette parallèle coupe la perpendiculaire IM, on mènera à la première division A de la perpendiculaire DO la droite AK. Le point Q, où cette droite coupera la perpendiculaire PT, donnera la partie PQ = y.

En effet, soit menée par Q la parallèle FQ à l'axe OP. Les deux triangles semblables CDM et CHS donneront

DM(i):DC(</) = HS(*) :CU[=dx)-,

ajoutant CB (c), on aura

BH = c-f- dx.

De même, les deux triangles semblables BHL, BGK donneront

HL(i) : UB{c-hdx) = G\{{x) : BG (= ex ■+- dx');

ajoutant AB (b), on aura

AG = b -+- ex -+- dx2.

Enfin les triangles semblables AGK et AFQ donneront

GK(i) : Gk[b + cx + dx2) = FQ[x) : FA (= bx H- ex2 -+- dx*); ajoutant OA(a), on aura

OF = PQ = a -+- bx -+- ex"- -+- dx3 = y.

La même construction et la même démonstration auront lieu, quel que soit le nombre des termes de l'équation proposée.

11 faudra seulement avoir soin, si quelques-uns des coefficients a, b, c,... étaient négatifs, de les prendre dans le sens opposé. Par exemple, si a était négatif, il faudrait prendre la partie OA au-dessous de l'axe 01. Ensuite on partirait de même du point A pour y ajouter la partie AB égale à b; si b est positif, on prendra AB dans le sens OD; mais, si l> était négatif, il faudrait prendre AB dans le sens opposé, et ainsi dès autres.

A l'égard de x, on prendra OP dans le sens de 01, supposé égal à l'unité positive, lorsque x sera positif; mais on prendrait OP dans le sens opposé, si x était négatif.

Il ne serait pas difficile, au reste, de former, d'après cette construction, un instrument qui s'appliquerait à toutes les valeurs des coefficients a, b, c,..., et qui, au moyen de quelques règles mobiles avec des charnières, donnerait pour chaque point P de la droite OP le point correspondant Q, et qui servirait à décrire la courbe même par un mouvement continu. Cet instrument pourrait ainsi servir à résoudre toutes les équations; du moins servirait-il a trouver les premières valeurs approchées des racines, par lesquelles on en trouvera ensuite de plus exactes.