LEÇON CINQUIEME
SUR L'USAGE des courbes dans la solution des problèmes.
Tant que l'Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêté des forces mutuelles et ont marché ensemble d'un pas rapide vers la perfection. C'est à Descartes qu'on doit l'application de l'Algèbre à la Géométrie, application qui est devenue la clef des plus grandes découvertes dans toutes les branches des Mathématiques. La méthode que je vous ai exposée dernièrement pour
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trouver et démontrer plusieurs propriétés générales des équations par la considération des courbes qui les représentent, est proprement une espèce d'application de la Géométrie à l'Algèbre; et, comme cette méthode a des usages très-étendus, et peut servir a résoudre facilement des Problèmes dont la solution directe serait très-difficile ou même impossible, je crois devoir vous en entretenir encore dans cette séance, d'autant plus qu'on ne la trouve guère dans les Éléments ordinaires d'Algèbre.
Vous avez vu comment une équation d'un degré quelconque peut se résoudre par le moyen de la courbe dont les abscisses représentent l'inconnue de l'équation, et dont les ordonnées sont égales à la valeur du premier membre de l'équation pour chaque valeur qu'on donne à l'inconnue. Il est clair que cette méthode peut s'appliquer en général a toutes les équations, quelle que soit leur forme, et qu'elle ne demande pas que l'équation soit développée et ordonnée par rapport aux différentes puissances de l'inconnue. Il suffît donc que tous les termes de l'équation soient dans un seul membre, en sorte que l'autre membre soit égal à zéro; alors, en prenant de même l'inconnue pour l'abscisse x, et la fonction de l'inconnue, c'est-à-dire la quantité composée de cette inconnue et des connues, laquelle forme l'un des membres de l'équation, pour l'ordonnée y, la courbe décrite d'après ces ordonnées x et y donnera, par ses intersections avec l'axe, les valeurs de x qui seront les racines cherchées de l'équation donnée. Et comme le plus souvent on n'a pas besoin de connaître toutes les valeurs possibles de l'inconnue, mais seulement celles qui peuvent résoudre le Problème dans le cas dont il s'agit, il suffira de décrire la portion de courbe qui pourra répondre à ces valeurs, ce qui épargnera beaucoup de calculs inutiles. On pourra même de cette manière juger d'abord, par la figure de la courbe, si le Problème a des solutions possibles, conformément aux circonstances qui peuvent les limiter.
Supposons, par exemple, que l'on demande de trouver, sur la ligne (jui joint deux lumières dont l'intensité est donnée, le point qui recevra une quantité de lumière donnée, en partant de ce principe de Phy-
sique, que l'effet d'une lumière décroit dans le même rapport que le carré de la distance augmente.
Nommons a la distance entre les deux lumières, et a? la distance du point cherché à l'une des lumières, dont l'intensité ou la quantité de lumière à la distance = i soit M, celle de l'autre lumière étant N; on
aura — et 7 rr pour exprimer les effets de ces deux lumières sur
x2 [a — xy l l
le point en question; de sorte que, désignant l'effet total donné par A,
on aura l'équation
ou bien
On considérera donc la courbe dont l'équation sera M N
et l'on verra d'abord qu'en donnant à x une valeur très-petite, positive
ou négative, le terme — deviendra très-grand positif, parce qu'une
fraction augmente d'autant plus que son dénominateur diminue, de
sorte qu'il sera infini au point où x = o. Ensuite, x croissant, le terme
— ira en diminuant; mais l'autre terme -> qui était — lorsque
x* [a — xy ' a- '
x = o, augmentera continuellement, jusqu'à devenir très-grand ou infini lorsque x aura une valeur très-voisine de a ou égale à a.
Si donc la somme des deux termes peut devenir moindre que la quantité donnée A, en donnant à x des valeurs depuis zéro jusqu'à a, la valeur de y, qui était d'abord très-grande positive, deviendra négative, et redeviendra très-grande positive; par conséquent, la courbe coupera l'axe deux fois entre les deux lumières, et le Problème aura deux solutions. Ces deux solutions se réduiront à une seule, si la plus petite
valeur de
x2 [a — x)2 VII. 35
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était exactement égale à A, et elles deviendront imaginaires si cette valeur était plus grande que A, parce qu'alors la valeur de y serait toujours positive depuis x = o jusqu'à x = a; d'où l'on voit que, si c'est une condition du Problème que le point demandé tombe entre les deux lumières, il est possible que le Problème n'ait aucune solution; mais, si le point peut tomber sur le prolongement de la ligne qui joint les deux lumières, nous allons voir que le Problème est toujours résoluble de deux manières. En effet, en supposant x négatif, il est visible que
le terme — restera toujours positif, et de très-grand qu'il est près du
point où x = o, il ira toujours en diminuant lorsque x croîtra, jusqu'à devenir très-petit ou nul lorsque x sera très-grand ou infini; l'autre
terme r- sera d'abord = — > et ira aussi en diminuant jusqu'à
devenir nul lorsque x sera devenu infini négatif. Il en sera de même en supposant x positif et plus grand que a; car, lorsque x = a, le terme
N - — — — - sera infini; ensuite il ira en diminuant jusqu'à devenir nul
lorsque x sera infini, et l'autre terme — sera d'abord = — -, et ira aussi 1 x- a2
en diminuant jusqu'à zéro à mesure que a? croîtra.
Donc, quelle que soit la valeur de la quantité A, il est visible que les valeurs de y passeront nécessairement du positif au négatif, tant pour les x négatives que pour les x plus grandes que a. Ainsi il y aura une valeur négative de x et une valeur positive plus grande que a, qui résoudront le Problème dans tous les cas. On les trouvera par la méthode générale, en rapprochant successivement les valeurs de x, qui donneront des valeurs de y de signes contraires.
A l'égard des valeurs de x moindres que a, nous avons vu que la réalité de ces valeurs dépend de la plus petite valeur de la quantité
on verra dans le Calcul différentiel comment on détermine les plus petites et les plus grandes valeurs d'une quantité variable; nous nous
contenterons de remarquer ici que la quantité dont il s'agit sera la plus petite ou un minimum, lorsque
de sorte qu'on aura
a \fM x = ■—= — »
et de là on trouvera, pour la plus petite valeur de la quantité dont il s'agit,
par conséquent, il y aura deux valeurs réelles de x si celte quantité est moindre que A; mais ces valeurs seront imaginaires si elle est plus grande. Le cas de l'égalité donnera deux valeurs de x égales entre elles.
Je me suis un peu étendu sur l'analyse de ce Problème, qui n'est, au reste, que de pure curiosité, parce qu'elle peut servir pour tous les cas semblables.
L'équation du Problème précédent, étant délivrée des fractions, sera
de cette forme
laquelle, étant développée et ordonnée, montera au quatrième degré, et aura par conséquent quatre racines; ainsi, par l'analyse que nous venons de donner, on pourra connaître tout de suite la nature de ces racines. Comme il peut résulter de là une méthode applicable à toutes les équations du quatrième degré, nous allons en dire un mot en passant. Soit donc l'équation générale
on a déjà vu que, si son dernier terme est négatif, elle aura nécessairement deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; mais, si ce terme est positif, on n'en peut rien conclure en général sur la nature
de ses racines. Qu'on donne à cette équation la forme
[x2 — a')2 -+- b[x -+- a)2 -+- c[x — a)2 = o, laquelle, étant développée, devient
xi -+- (b -t- c — i a2 ) x7 -f- 2 a { b — c ) x -+- a* -\- a2{b -t- c ) = o ; d'où l'on tire, en comparant les termes,
b -t- c — ia2 = p, o.a{b—c) = q, a* -h a}[b -\- c) =■ r,
et de là
i+c = n + 2«!, b — c = —■> 3 «' -t- p.iJ = /• ;
de sorte qu'en résolvant cette dernière équation, on aura
<•'= -f+vl-I-
Or nous supposons ici r positif; donc a2 sera réel positif, et par conséquent a réel ; donc aussi b et c seront réels.
Ayant donc déterminé de cette manière les trois quantités a, b, c, on aura la transformée
Si l'on fait le second membre de cette équation =j, et qu'on considère la courbe dont x seront les abscisses et y les ordonnées, il est d'abord visible que, lorsque b et c seront des quantités positives, cette courbe sera toute au-dessus de l'axe; par conséquent l'équation n'aura aucune racine réelle. Supposons, en second lieu, que b soit une quantité négative, et c une quantité positive; alors x = a donnera y = f\bar , quantité négative; ensuite x très-grand positif et négatif donneront y trèsgrand positif; d'où il est aisé de conclure que l'équation aura deux racines réelles, l'une plus grande que a, et l'autre moindre que — a. On trouvera de même que, si b est positif et c négatif, l'équation aura
deux racines réelles, l'une plus grande et l'autre moindre que a. Enfin, si b et c sont tous le? deux négatifs, alors y sera négatif, en faisant
x = a et x — — a;
ensuite il sera positif très-grand pour x très-grand positif ou négatif; d'où l'on conclura encore qu'il y aura deux racines réelles, l'une plus grande que a, l'autre moindre que —a. On pourrait pousser ces considérations plus loin, mais nous ne nous y arrêterons pas davantage quant à présent.
On a vu, par l'Exemple précédent, que la considération de la courbe ne demande pas que l'équation soit délivrée des expressions fractionnaires; on doit dire la même chose relativement aux expressions radicales; il y a même un avantage à y conserver ces expressions telles que l'analyse du Problème les donne; c'est qu'on peut n'avoir égard qu'aux signes des radicaux qui conviendront aux circonstances particulières de chaque Problème, au lieu qu'en faisant disparaître les fractions et les radicaux, pour avoir l'équation ordonnée suivant les différentes puissances entières de l'inconnue, on introduit souvent des racines étrangères à la question proposée. Il est vrai que ces racines appartiennent toujours à la même question considérée dans toute son étendue; mais cette richesse de l'Analyse algébrique, quoique très-précieuse en elle-même et sous un point de vue général, devient incommode et onéreuse dans les cas particuliers où l'on ne peut, par les méthodes directes, trouver la solution dont on a besoin, indépendamment de toutes les autres solutions possibles. Lorsque l'équation qui résulte immédiatement des conditions du Problème renferme des radicaux dont le signe est essentiellement ambigu, la courbe de celte équation (en y faisant le membre, qui doit être zéro, égal a l'ordonnée y) aura nécessairement autant de branches qu'il pourra y avoir de combinaisons différentes de ces signes, et pour la solution complète il faudrait considérer chacune de ces branches; mais cette généralité peut être restreinte par les conditions particulières du Problème, qui déterminent la branche où la solution doit se trouver : alors on a l'avantage
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de ne point faire de calculs inutiles, et cet avantage n'est pas un des moindres qu'offre la méthode de résoudre les équations par la considération des courbes.
Mais celte méthode peut être encore généralisée, et rendue indépendante de l'équation même du Problème. Il suffit, pour pouvoir l'employer, de considérer les conditions du Problème en elles-mêmes, de donner à l'inconnue différentes valeurs arbitraires, et de déterminer d'après ces conditions, soit par le calcul ou par une construction, les erreurs qui en résultent. Ces erreurs étant regardées comme ordonnées y d'une courbe dont les abscisses x seraient les valeurs correspondantes de l'inconnue, il en résultera une courbe continue, qu'on appellera la courbe des erreurs, et qui, par ses intersections avec l'axe, donnera également toutes les solutions du Problème. Ainsi, si l'on trouve deux erreurs successives, l'une en excès et l'autre en défaut, c'est-à-dire, l'une positive et l'autre négative, on en conclura sur-le-champ qu'entre ces deux valeurs correspondantes de l'inconnue il y en aura une pour laquelle l'erreur sera nulle, et dont on pourra approcher aussi près qu'on voudra par des substitutions successives, ou même aussi par la description mécanique de la courbe.
Cette manière de résoudre les questions par les courbes des erreurs est une des plus utiles qu'on ait imaginées; elle est d'un usage continuel en Astronomie, où les solutions directes seraient trop difficiles et souvent impossibles; elle peut servir à résoudre des Problèmes importants de Géométrie et de Mécanique, et même de Physique : c'est, à proprement parler, la règle de fausse position prise dans le sens le plus général et rendue applicable à toutes les questions où il y a une inconnue à déterminer. Elle peut s'appliquer aussi à celles qui dépendent de deux ou plusieurs inconnues, en donnant successivement à ces inconnues différentes valeurs arbitraires, et calculant les erreurs qui en résultent, pour les lier par différentes courbes ou les réduire en Tables; de sorte que par cette méthode on peut parvenir immédiatement à la solution cherchée, sans aucune élimination préliminaire des inconnues.
Nous allons en faire voir l'usage par quelques Exemples.
On demande un cercle dans lequel on puisse inscrire un polygone dont tous les côtés soient donnés.
Ce Problème, mis en équation, monterait à un degré d'autant plus haut que le nombre des côtés donnés serait plus grand. Pour le résoudre par la méthode dont nous venons de parler, on décrira d'abord un cercle à volonté, comme ABCD (Jig. 3), et l'on portera dans ce cercle les côtés donnés
