Soit la fraction — '-=\ voici l'opération entière, dans laquelle je ferai toutes les divisions en dedans :
1 io3
1 io3
1 io3
1 io3 1 100
1 io3 r 101
1 io3 1 102
1 io3 i io3
1 io3
On voit que les restes sont — 216, — 23, — 22, — 3, — 2, — 1, et les quotients 1, 5,47» ^o, ^67, ^5r, iio3; de sorte que l'on aura cette série alternative,
iio3 5 5.47 5-47-5o 5 47-5o.3ë7
5.47 50.367. 55 1 5.47 .50.367 .55 1.1 io3 Prenons la fraction qui exprime le rapport de la circonférence au
diamètre, et qui est, en décimales,
3 , 1 4 1 592 653589 793a38 462643 38 ... . En faisant la même opération sur la fraction
I OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO . . .
et faisant les divisions en dedans ou en dehors, suivant qu'il sera nécessaire pour que chaque reste soit moindre que la moitié du précédent, on trouvera les quotients 7, 1 1 3, 4739, 47o5i , 499762,..., et l'on aura pour le rapport dont il s'agit la série très-convergente
Les deux premiers termes réunis donnent la proportion connue d'Ar-
chimèdè — \ et, en y ajoutant le troisième, on a la proportion de
Metius -g;'
13. Dans les problèmes précédents, il a été question de réduire une fraction donnée à d'autres fractions dont les numérateurs ou les dénominateurs étaient donnés; mais on peut chercher simplement à réduire une fraction à d'autres fractions exprimées en moindres termes, et qui soient les plus approchantes qu'il est possible de la fraction donnée. Comme ce Problème est un des plus intéressants de l'Arithmétique, soit par les artifices qu'il demande, soit par les usages dont il est susceptible, nous allons en donner ici une solution déduite des mêmes principes.
14. Suivant les formules du n° 4, nous avons cette transformation
A a An
où lia — Am =± C. Or, lorsque m et a sont indéterminées, et qu'on
cherche à les déterminer de manière que la fraction — approche le
plus qu'il est possible de la fraction donnée -> les nombres m et a étant
moindres respectivement que les nombres B et A, il est clair qu'il faudra donner à C la plus petite valeur possible, c'est-à-dire, faire C égal à l'unité positive ou négative, puisque C=o emporterait l'égalité des deux fractions, et rendrait m = B, a = A.
Il s'agira donc de prendre m et a de manière que l'on ait
B«-Am = ±i;
on aura alors cette transformation
où il faudra prendre le signe supérieur ou l'inférieur, suivant qu'on voudra que la fraction donnée soit plus grande ou moindre que la nouvelle fraction — •
15. Mais il faut s'assurer d'abord qu'il peut toujours exister deux nombres a<A, tw<B, tels que l'on ait Ba — Am = ± i . Mettons
cette équation sous la forme a = — ~ ; il est visible que la question
se réduira à trouver un nombre m moindre que B, lequel rende le nombre mk ± i divisible par B. Or, si l'on substitue dans mA ± i successivement pour m tous les nombres o, i, 2,..., jusqu'à B — 1, et qu'on divise chaque résultat parB, on aura des restes tous moindres que B et tous différents entre eux; car, s'il pouvait y avoir deux restes égaux, soient m et m' les deux nombres qui donneront le même reste; alors la différence (m — m') A sera nécessairement divisible par B; mais A et B sont premiers entre eux, et m — m' est un nombre moindre que B, puisque m et m' sont moindres que B : donc, cette différence ne pouvant être divisible par B, il s'ensuit que les deux restes ne sauraient être égaux; donc le zéro se trouvera nécessairement parmi les restes; par
conséquent il y aura toujours un nombre moindre que B, qui, substitué pour m dans mk ± i, rendra ce dernier nombre divisible par B. Ce même nombre pourra donc être pris pour m, et le quotient de la division de km ± i par B sera la valeur correspondante de a, laquelle sera par conséquent moindre que A.
On voit aussi, par celte démonstration, qu'il ne peut y avoir qu'une seule valeur de m et une de a, moindres que B et A, qui satisfassent à l'équation Ba — km = ± \ . Car soient a et a' deux valeurs de a, et m, m' deux valeurs de m; on aura donc
B a — A m = ± i , Ba'-Àm'=±i;
donc, retranchant l'une de ces équations de l'autre, on aura
équation qui ne saurait subsister en nombres entiers, puisque A et B sont premiers entre eux, et que a — a' et m — m' sont des nombres moindres que A et B.
On pourra donc toujours trouver les nombres m et a qui doivent satisfaire à l'équation proposée, en essayant successivement les nombres moindres que B ou A pour m ou a; mais nous donnerons ci-après des méthodes directes pour cet objet.
16. Au reste, lorsqu'on aura trouvé deux valeurs de m et de a qui satisferont à l'équation Ba — Am = ±i, il n'y aura qu'à prendre a' = A — a, m '= B — m, et l'on aura Ba' — kni = zp i : ainsi il suffira toujours de trouver des valeurs de m et a qui satisfassent à l'équation proposée, en prenant le signe ambigu positivement ou négativement à volonté.
On voit aussi par là qu'il est toujours possible de donner àaoum des
valeurs plus grandes ou plus petites que — ou -; car il est visible que.
si a est > £ A, A — a sera <|A. Or la fraction — approche d'autant plus de la fraction - •> soit en plus, soit en moins, que le dénominateur a
est plus grand, puisque leur différence est -r— » abstraction faite du
A signe; donc, si l'on prend a>— » cette différence sera la plus petite
17. L'équation Ba-Aw=±i, à laquelle doivent satisfaire les nombres m et a, fait voir de plus :
i° Que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux, en
sorte que la fraction — sera déjà réduite à ses moindres termes; car
s'ils avaient un diviseur autre que l'unité, il faudrait qu'il divisât aussi le second membre de l'équation, ce qui ne se peut;
2° Qu'il est impossible qu'entre les deux fractions t et — il tombe
aucune autre fraction, à moins qu'elle n'ait un dénominateur plus
grand que A; car supposons qu'il existe une fraction comme — > dont
la valeur puisse tomber entre celles de ces deux fractions, et dont le dénominateur a soit < A, il faudra donc que la différence entre les deux
fractions — et — soit moindre que la différence entre les fractions T a a n A
et — ; mais la première de ces différences est — ? et la seconde est
± -r— • Or il est clair que le nombre \i.a — am ne peut pas être moindre
