J\. CL

que l'unité; et, comme a< A par l'hypothèse, il s'ensuit, au contraire, que la première différence sera toujours nécessairement plus grande que la seconde.

18. Si la fraction — est encore exprimée en termes trop grands, on

pourra la rabaisser de la même manière, puisque les nombres m et a sont aussi premiers entre eux.

On cherchera donc deux autres nombres n et b, moindres respectivement que m et a, qui satisfassent à l'équation mb — an = ± i , et

l'on aura

a b ab

De la même manière, si l'on cherche encore d'autres nombres/) et c, moindres que n et b, et qui soient tels que l'on ait ne — bp = zfc r , on aura aussi

7i = ^±-, b c be

et ainsi de suite.

Ces nouvelles fractions r' ■*-»■••> seront aussi réduites à leurs moin-

dres termes, et seront exprimées en termes toujours plus petits; de manière qu'entre deux fractions consécutives de la série r> — > r» — > • • • il ^ a. a b c

ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur serait entre les dénominateurs de ces deux fractions (17). D'où il s'ensuit que cette série de fractions contiendra toutes les fractions qui, étant successive-

ment exprimées en termes moindres que la fraction -> approcheront

plus de celle-ci que ne pourrait faire toute autre fraction qui ne serait pas exprimée en plus grands termes.

19. Supposons que les nombres a, b, c, d, . . . , m, n, p, q, . . . soient pris de manière que les signes supérieurs ou les signes inférieurs aient constamment lieu dans les équations

B« — A m = ± r , mb — an = qz i , ne — bp — dz i , pd — cq = zp i , qe — rfr = :fci, etc.;

on aura, en conservant la même loi des signes, les approximations

m n i a b ab

P±c bc

c ~ d ~+- cd'

d e de

etc;

qui sont, comme l'on voit, alternativement en plus et en moins.

30i ESSAI D'ANALYSE NUMÉRIQUE

Si l'on substitue successivement les valeurs de — « r'-"> on aura

B mi

b ~\Aa

ab

(/ \A« «6 6c et//

Or, comme les nombres a, b, c,... sont supposés aller en diminuant,

il est clair qu'on aura -v > -— , t- "> -r » —r > -r-, — Donc on aura, ' ab Art 6c ab cet bc

en vertu des formules précédentes,

les signes supérieurs répondant aux signes supérieurs de ces formules, et les inférieurs aux inférieurs.

D'où je conclus que, si l'on suppose

B6 — A« = q«N, Bc — Ap = =t;P> RJ— Aq = zpQ, Bc — Ar = =bR, B/— As==pS, etc.,

en conservant toujours les signes supérieurs ou les inférieurs, les nombres entiers N, P, Q,... seront nécessairement tous positifs, et il est clair qu'on aura

Ad