Cela posé, si l'on ajoute ensemble les deux équations

Ba — Am = ±i, et mb — an = zp i ,

on aura

(B — n )a — A — b ) m = o, savoir r = — •

Or, la fraction — étant réduite à ses moindres termes, la fraction ^

ne peut lui être égale, à moins que le numérateur B — n et le dénominateur A — b ne soient équimultiples de m et a. On aura donc nécessairement, en prenant pour X un nombre entier indéterminé,

B — n = lm, A — b = la; donc n = B — "km, 6 = A — la.

Or, n devant être <m et b<^a, il est clair qu'on ne pourra prendre pour n et b que les restes des divisions de B par m et de A par a, et X sera alors le quotient commun de ces divisions. Ainsi, connaissant les

deux premières fractions t'~' on pourra trouver de cette manière la

troisième j- De même, les équations

mb -+- an = =p i et ne — bp = ± i ,

étant ajoutées ensemble, donnent

(m — p )b — [a — c) n = o, savoir c = r»

d'où l'on tirera, de la même manière,

m — p = fj.n, a — c = pb,

fj. étant un nombre quelconque entier.

On aura ainsi p = m — [in, c = a — p.b; et, comme p doit être < n et c <Cb, il s'ensuit que p et c ne pourront être que les restes des divisions de m par n et de a par b, et que u. sera leur quotient commun.

On tirera pareillement des deux équations

ne — pb = do i , pd — rç = zp i

ces deux formules

y = n — vp, d = 6 — vc,