En général on aura
Xi + A,b
rf + B
"^Ô; D,(D,e + Ct)' et ainsi de suite.
Or, si l'on suppose que les valeurs approchées oc, {3, y,... soient toujours prises moindres que les véritables, ces nombres seront tous positifs, aussi bien que les quantités b, c, d, . . . (n°3); donc les nombres A,, B,, G,,... seront aussi tous positifs; d'où il s'ensuit que les
ABC
différences entre la quantité a et les fractions — ' ït> rr»,â" seront altern A, B, C,
ANALYSE INDETERMINEE. 27
nativement positives et négatives; c'est-à-dire que ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la quantité a. De plus, comme b > |3, c > y, «?><?,... (hyp.)< on aura
£>B,, B,c + A,>B,y-4- A,>C„ C.rf -4- B, > C,â + B, > I),, ...,
et, comme è</3 -+- i, c < y 4- i , c? < <? H- i , • . . , on aura
6<B,-f-i, B,c-h A,<B,(y -4- i) -t- A,<C, + BI, Ctd+ B1<C,(ô-f-i)4-B1<D, -+-C, ...;
de sorte que les erreurs qu'on commettrait en prenant les fractions T"' W> tt*'" pour la valeur de a seraient respectivement moindres
Ai Joi Li que
A,B,' B,C,' C,I), mais plus grandes que
A,(B, + A,)' B,(C, + B,")' CMOr+TT)'
d'où l'on voit combien ces erreurs sont petites, et combien elles vont en diminuant d'une fraction à l'autre.
Mais il y a plus : puisque les fractions — , w, ^-s--- sont alternati-
Ai Ki Li
vement plus petites et plus grandes que la quantité a, il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques; or nous avons vu ci-dessus (n° 12) qu'il est impossible qu'entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l'un de ceux de ces deux fractions; d'où l'on peut conclure que chacune des fractions dont il s'agit exprime la quantité a plus exactement que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque*, dont le dénominateur sérail plus petit que celui de la fraction suivante: c'est-à-dire que la frac-
tion p-i par exemple, exprimera la valeur de a plus exactement que
toute autre fraction — > dans laquelle n serait < D(.
15. Si les valeurs approchées a, [i, y,... sont toutes ou en partie plus grandes que les véritables, alors parmi ces nombres il y en aura nécessairement de négatifs (n° 3), ce qui rendra aussi négatifs quelques-uns des termes des séries A, B, C, . . . , A,, B,, C,,...; par conséquent les différences entre les fractions —> — 5 jr, • • ■ et la quantité a
ne seront plus alternativement positives et négatives, comme dans le cas du numéro précédent; de sorte que ces fractions n'auront plus l'avantage de donner toujours des limites en plus et en moins de la quantité a, avantage qui me paraît d'une très-grande importance, et qui doit par conséquent faire préférer toujours dans la pratique les fractions continues où les dénominateurs seront tous positifs. Ainsi nous ne considérerons plus dans la suite que des fractions de cette espèce.
