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la première sera composée de fractions toutes plus petites que a, et qui iront en augmentant vers la quantité a; la seconde sera composée de fractions toutes plus grandes que a, mais qui iront en diminuant vers cette même quantité. Examinons maintenant chacune de ces deux

séries en particulier : dans ta première on aura f nos 10 et 12)

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et dans la seconde on aura

Si les nombres y, §, s,... étaient tous égaux à l'unité, on pourrai! prouver, comme dans le n° 12, qu'entre deux fractions consécutives quelconques de l'une ou de l'autre desséries précédentes il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que ceux de ces deux fractions; mais il n'en sera pas de même lorsque les nombres y, $, s,... seront différents de l'unité; car dans ce cas on pourra insérer entre les fractions dont il s'agit autant de fractions intermédiaires qu'il y aura d'unités dans les nombres y — i , â — i , s — i

et pour cela il n'y aura qu'a mettre successivement dans les valeurs de C et C, (n° 10) les nombres i, 2, 3, . . . , 7 à la place de 7; et de même, dans les valeurs de D et D,, les nombres 1 , 2, 3, . . ., d à la place de fî, et ainsi de suite.

17. Supposons, par exemple, que y = 4» on aura C- 4B-!- A, C,r 4B, -4- A„

et l'on pourra insérer entre les fractions --- et tt- trois fractions intermédiaires, qui seront

Bj4-A aB l-A 3B-4-A H, -A,' 2B, -t-A,' 3B, A

30 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGEBRE D'EULEB.

Il est clair que les dénominateurs de ces fractions forment une suite croissante aritlimétiquement depuis A, jusqu'à C,, et nous allons voir que les fractions elles-mêmes croissent aussi continuellement depuis

— jusqu'à pr> en sorte qu'il serait maintenant impossible d'insérer dans

la série

A,' B.-f-A,' aB.-4-A,' 3B.-HA,' 4B, + A, °U C,

aucune fraction dont la valeur tombât enlre celles de deux fractions consécutives, et dont le dénominateur se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions. Car, si l'on prend les différences entre les fractions précédentes, on aura, à cause de BA, — AB( = i,

B,+A, A, A,(B, + A,)' aB + A B-t-A

aB, + A, B, + A, (B,-+-A,)(2B, + A, 3B-4-A sB-f-A i

3B,h-A, aB.+ A, "' (aB, + A,) (3B,-t- A, C 3B-f-A i

d'où l'on voit d'abord que les fractions -—, ^ r » • - ■ vont en augmen-

tant, puisque leurs différences sont toutes positives; ensuite, comme ces différences sont égales à l'unité divisée par le produit des deux dénominateurs, on pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait dans le n° 12, qu'il est impossible qu'entre deux fractions consécutives de la série précédente il puisse tomber une fraclion quelconque — » si le dénominateur n tombe entre les dénominateurs de ces fractions, ou, en général, s'il est plus petit que le plus grand des deux dénominateurs.

De plus, comme les fractions dont nous parlons sont toutes plus

ANALYSE INDETERMINEE. 31

grandes que la vraie valeur de a, et que la fraction ^- en est plus petite,

il est évident que chacune de ces fractions approchera de la quantité a, en sorte que la différence en sera plus petite que celle de la même frac-

lion et de la fraction ïr; or on trouve A B i

aB.-t-A, " B, — (aB. + A.jB,*

Ci B, Ci B,

ai*

Donc, puisque ces différences sont aussi égales à l'unité divisée pa le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du n° 12, pour prouver qu'aucune fraction -- ne saurait

tomber entre une quelconque des tractions — > =r- . , ■ — • , • • • M i A, B.-+-A, 2B. + A,

t> et la fraction ^-> si le dénominateur n est plus petit que celui de la

même fraction; d'où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité a que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que a, et qui aurait un dénominateur plus petit, c'est-à-dire, qui serait conçue en termes plus simples.

18. Nous n'avons considère dans le numéro précédent que les fractions

intermédiaires entre — et jr\ il en sera de même des fractions intermé-

diaires entre 7T et L, -, entre ,4- et ?r si e, •/},... sont des nombres >i.

'>i t., té, li.

On peut aussi appliquer à l'autre série

B L L bV d7 f,'

tout ce que nous venons de dire relativement à la première série

de sorte que, si les nombres ô, Ç, . . . sont > i , on pourra insérer entre

les fractions =r- et =r- > entre =r- et =-!■•• différentes fractions intermé- ■B, u, D, r,

diaires toutes plus grandes que a, mais qui iront continuellement en

diminuant, et qui seront telles, qu'elles exprimeront la quantité a plus

exactement que ne pourrait faire aucune autre fraction plus grande

que a, et qui serait conçue en termes plus simples.

De plus, si p est aussi un nombre >i, on pourra pareillement placer

avant la traction ^- les tractions > - -■> — « — > • • • jusqu a

7li savoir 5- ; et ces fractions auront les mêmes propriétés que les

autres fractions intermédiaires.

De cette manière, on aura donc ces deux suites complètes de fractions convergentes vers la quantité a.

Fractions croissantes et plus petites que a.

aB. + A,'1

yB + A yfi, + A,'

2D+C aD. + Ci'