QUI SE RENCONTRE
DANS LE CALCUL DE L'ATTRACTION DES SPHÉROÏDES TRÈS-PEU DIFFÉRENTS DE LA SPHÈRE.
[Journal de l'École Polytechnique, XVe Cahier, t. VIII, 1809. )
D'Alembert est le premier qui ait donné le calcul de l'attraction des sphéroïdes non elliptiques, mais peu différents de la sphère, dans le second et le troisième volume de ses Recherches sur le système du Monde. M. Laplace a traité ensuite cette matière d'une manière nouvelle et plus générale qu'on ne l'avait fait, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mécanique céleste. Sa théorie est fondée sur un beau théorème très-remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité; mais ce théorème donne lieu à une difficulté singulière, qui paraît n'avoir encore été remarquée par personne, et qui mérite d'être examinée.
1. Soient, comme dans les Mémoires de 1782 (page 1 34 ) et dans la Mécanique céleste (tome Ilj, r la dislance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, 0 l'angle que le rayon r fait avec un axe fixe passant par le centre, zs l'angle que le plan passant par cet axe et par le rayon r fait avec le plan invariable passant par le même axe; soit, de plus, R la distance d'une molécule du sphéroïde au centre, et soient 0',
rs' ce que deviennent les angles 0, rs relativement à cette molécule; la dislance de la molécule au point attiré sera \jr'x — 2/Rp. -4- R2; en faisant, pour abréger,
[j. — cos 9 cos 9' -4- sin 0 sin 9' cos [vs — m' ,
la masse de la molécule sera R2 dR d5' dzs' sin0', et, si l'on désigne par V
la somme des molécules divisées par leurs distances au point attiré, on
aura
Ç Ç r\Vd\\dm'd9' sin 9'
~JJJ v^-arR^ + R5'
l'intégrale relative à R devant être prise depuis R = o jusqu'à la valeur de R à la surface du sphéroïde, l'intégrale relative à n' devant être prise depuis zz' = o jusqu'à zs'= 36o°, et celle qui est relative à 0' ou à u, depuis 0'= o jusqu'à ô'= i8o°. La valeur de V étant ainsi déterminée,
dV i d\ i dV . . . .. .. , , - , ,
on aura -7- s — 77-5 ■ — : — 7 -r- pour les trois attractions du sphéroïde dans dr r d9 rsinô dm r l
le sens du rayon /•, et perpendiculairement à ce rayon dans le plan de r et R, et dans un plan perpendiculaire à celui-ci.
2. Supposons maintenant que le sphéroïde soit très-peu différent d'une sphère dont le rayon soit égal à a; on aura R = a! 1 + y'), y' étant une fonction très-petite de sinus et cosinus de zs' et 0' , dont on négligera le carré et les puissances supérieures; il est clair que la valeur de V sera égale à sa valeur relativement à la sphère, plus à la valeur relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère. On sait, et il est facile de prouver que la première est égale à la masse de la sphère divisée par
la distance /■; elle est ainsi exprimée par » en nommant n l'angle
de 1800. Quant à la seconde, comme nous ne tenons compte que des premières dimensions de y', il est aisé de voir qu'on l'aura en mettant, dans l'expression précédente de V, a à la place de R, et ay' à celle de </R. Ainsi, en nommant cette seconde partie u, on aura
47ra3 r r r'dm'd9'sw9'
V=-ï5 — - + U, et ôr
y/r2— ia<j.r-\- a?
D'UNE DIFFICULTÉ SINGULIÈRE. 36o
où il n'y a plus que deux intégrations a faire, l'une relative à sr', l'autre relative à 6' ou à p..
Je (lifTérenlie maintenant, comme M. Laplace, par rapport à /■; j'ai •
dX 4 tto3 du 17 = ~ Tr~ + dr '
du , /* rlr — au.) r'dm'dV si n 6'
Lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, on a r = a(i +y), en désignant par y ce que devient y', lorsque 0' et et' deviennent 0 et zs; mais, comme nous négligeons dans u les quantités du second ordre, il suffit de faire r= a. On aura ainsi
y'drz'dB' sin 0'
V « — f* </m o /» /•( i - u. ) r'dm'dW sin 9' a Ç Çy'dvs'dV %\\\b'
dr 2^2/ / i— »r *s/*JJ v/Tzry-
donc
équation qui doit avoir lieu à la surface du sphéroïde. Donc on aura aussi à cette surface
dX 2.r.a* â~as ïV-4-a-T-
dr 3r 3 /
où il faut faire /• — a(i-hy), ce qui donnera
,. d\ 7. t. ci1
M. Laplace trouve jV + a-r- = - '.' ' i parce qu'il suppose que la sphère touche le sphéroïde, auquel cas y = o.
du
3. Considérons l'équation \u \-a-r- =o, qui est indépendante de la valeur de y' dans u, et supposons d'abord y' constant; on aura
* . / . / s/r1 — 2 ra u. h- a-
Il est tacile d avoir I intégrale de = ; car, en transportant
y/r2 — 2 rau -+- a-
l'axe ou le pôle des angles zs'; 0' dans la ligne /■, ce qui est permis,
puisque cette ligne est fixe par rapport aux mêmes angles, on a 6 == o,
ce qui donne /x = cosO', et réduit la différentielle dont il s'agit à
dis' du.
\Jr'1 — 2 rau. -+- a-
laquelle doit être intégrée depuis zs' =- o jusqu'à zs'— 2tt, et depuis ju. = i jusqu'à [j. = — i. La première intégration donne
