Nommons p, pour abréger, le radical
^ r2 — ?. ra ^ -t- a1
en sorte que l'on ait u — a^jjpy'drs'dO' sin!/'; comme /• n'esl contenue que dans p, on aura
ï" + « ^ = a3ff{^9 + " dl)r'(Irs'dB' sin 5'' en faisant r = a après la différentiation. Or
dp a y. — r
dr ,A
[r2 — 2.ar[j. + a2}
faisant /• = a, on a
i dp — i
a Ji ( i — [j. ) " '' îa^sli-fji)
donc |p 4- a -.4 == <>, équation identique.
Si l'on réduit, comme l'a fait M. Laplace, le radical p en une série descendante par rapport à /•, on aura
RM rtR(') «5R(J»
É ?(° 9^LR!^ ^^
ilr r r' 1
d'où résulte
do 1 /RO 3rtRi«> 5fl*RC»
et, faisant / = a,
ip + a^- =- — (ftW+3RW + 5RW+... , 2r itr 2. a v
série dans laquelle tous les termes doivent se détruire d'eux-mêmes; ce qu'on trouve, en effet, après la substitution des valeurs de R(0), R(,), ... en fonction de /ju
On n'a pas besoin, pour s'en convaincre, d'effectuer ces substitutions;
car, puisque p = (r— iar\x -h- a2) 2, on aura
Pv/7= (r+j — aap et, différentiant par rapport à r,
i 'dp r i / rts\ / a2 \ '
donc, multipliant par \r,
dp r2 — a- (r* — a2) p
rP + r;77 = -
2(/-2— ?. ara + a')2 r
de sorte qu'on aura identiquement
R(<" ■ 3aK<'> 5aR(3' ' I— H /TU°> aRO rt'R<2>
par conséquent, en faisant r= a, la série R(0) -+- 3R(,) h- 5R(s; h- . . . sera nécessairement nulle.
5. La fonction |p + a-j- de \l est donc toujours identiquement nulle;
donc l'intégrale de cette fonction, multipliée par y'drs'dâ' sinG', étant supposée nulle, lorsque v,'= o et 0'= o, devrait être toujours nulle par les principes du Calcul intégral, suivant lesquels l'intégrale est
regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la différentielle. Ainsi l'on devrait avoir toujours l'équation \u-\-a-r- = o
que nous avons trouvée d'abord; cependant nous venons de voir que, dansje cas le plus simple, où j' est constant, on a
du \ u ■+- a-r- = — ?-7ra2j,
ce qui est un paradoxe dans le Calcul intégral.
6. Pour en trouver l'explication, je vais reprendre l'analyse qui a
donné l'équation \u h- a -j- = °» et je ferai d'abord le calcul sans rien
négliger. Puisque u = a^ffpy'dTz'dO' s'mû', et que la quantité r n'est contenue que dans l'expression de p, il n'y a nul doute qu'en différentiant par rapport à r, on n'ait
Or
donc
~ = a> Ç f^f'dv'dQ'sinO'.
dp r — a \).
dr ~ ""a"'
(;,J — 2 m [i. -+- tt1 ) i
dp
dr
— 2 ra p.
donc
on
aura
du
+ rd7-
p (/•*— «'jp',
On voit ici, en effet, (ju'en faisant r = a, le second terme de l'équation disparait, et qu'on a rigoureusement, quel que soit y', l'équation
du ~u -+- a-.- =o.
dr
Donc, puisque d'un autre côté la valeur de \u -ha ,- n'est pas toujours vu. 47
nulle, il faut que le ternie multiplié par/*2 — à1 ne disparaisse pas toujours en faisant r — a.
7. Pour aller du plus simple au plus composé, nous commencerons
par examiner le cas où y' est une quantité constante. Dans ce cas, on
n'a qu'à chercher l'intégrale de [? dzs'dj' sin3', et, pour cela, nous
pouvons supposer, comme dans le n° 3, l'angle 0 nul, ce qui donne
[j. = cosô' et dp. = — sinô'dQ'; de sorte que la différentielle dont il
s'agit deviendra
dm'du.
[r' — iaru. -t- a' Intégrant d'abord par rapport à zs', on a
2 7T (IlJ.
'r1 — laru. -+- «M2
intégrant ensuite par rapport à fx, on a
ar\Jr- — iar\>. + rt2
et, complétant depuis p. = i jusqu'à p. = — i , on aura l'intégrale complète
<7/'!/' + rt) c/r(r
Ainsi la valeur complète de ffp3y'drz'dO' s'mO', lorsque y' est constant.
est , , ,.i quelle que soit la valeur de/-. Substituant cette valeur
dans l'équation du numéro précédent, on aura
du 2 7ra3r'
u + r -ydr
Si maintenant on fait /•= a, elle devient
\U~{-a-T- = — 2«J7TJ ,
comme on l'a trouvée dans le n° 3, les quantités y' et y étant ici les mêmes.
8. Considérons maintenant le cas général dans lequel y' est supposé une fonction de sinus et de cosinus des angles rz' et ô'; on aura à intégrer la quantité p* y'drz'dO' s'mO', et, pour cela, nous transporterons aussi, comme dans le n° 3, l'axe ou le pôle des angles variables sr', 0', qui déterminent la position de chaque molécule sur la sphère, dans la ligne r menée du centre au point attiré. Nommons <p et ty ce que deviennent alors les angles zs' et 0'; on aura également drpdty sin ^ pour l'élément dzs'dO'smû', et cos^ pour la valeur de p.; de sorte que la différentielle dont il s'agit deviendra — p3y'dcpd(x, qu'il faudra intégrer depuis o = o jusqu'à <p = 2ir, et depuis \j. = i jusqu'à \x = — i.
Mais, comme j' est supposé fonction de sinus et cosinus des angles sr' et 5', qui ont leur pôle dans un axe fixe indépendant de la position du point attiré ou de la ligne r, il faudra substituer dans y', à la place des sinus et cosinus de vs' et 0' , leurs valeurs en sinus et cosinus de cp et ty. Pour cela, il n'y a qu'à considérer le triangle sphérique qui a les angles 0, 0' et (|> pour ses trois côtés, et dans lequel zs — zs' est l'angle opposé au côté <l>, et o est l'angle opposé au côté 0', et les formules connues de la Trigonométrie sphérique donneront
cos0' = cosô costy + sinO sin^ coscp,
sin G' sin (nr — xa') = sin^ sin 9,
sinô'cos(cj — tsf) = sinO cos<]; — cosO sin^ coscp.
Ainsi la formule p3y'do dj. sera intégrable toutes les fois quej' sera une fonction rationnelle et entière de cosO', sin G' sin w', sinG'cos^', parce que l'intégrale relative à <p fera disparaître toutes les puissances impaires du sinus. C'est ainsi que d'Alembert a calculé l'attraction des sphéroïdes peu différents de la sphère; mais pour notre objet il suffit d'avoir réduit l'intégration de la formule p*y'dzsfd6r sin 6' à celle de la formule — p'y'df dp..
9. Commençons par L'intégration relative à (i; la différentielle
y'fd\)., intégrée par parties, donne
\j r* — iaru. -t- r<2
donc
de sorte que l'intégrale dont il s'agit deviendra
.r^ Çdy' p d[j.
ar J d\j. ar
Comme l'intégration doit s'étendre depuis \). = i jusqu'à y. = — .i , et qu'à la première de ces limites y' devient y, si l'on nomme Y ce que y'
a seouuuc uuiiiu, ia valeur uuiupicic uu ici nie
signe sera
devient à la seconde limite, la valeur complète du terme : — - hors du
1 ar
ar[r-\-a) ar[r — a)
Or, y et Y répondant à i|/ = o et <j> = it, à cause de p. = cosij/, auxquels cas zs' et 0' deviennent ?n- et 0, il est visible que ces quantités seront indépendantes de <p; ainsi l'intégration relative à ç>, depuis <p = o jusqu'à ç> = 2û, exécutée sur le même terme, donnera
