L — II / ; ^ L — II
quantités X, [x, v demeurant les mêmes pour les deux astres, puisqu'elles sont indépendantes des angles a et b.
16. On peut représenter la valeur de lang2 d'une manière assezsimple, par le moyen des lignes PC, QC, PQ et de l'angle PCQ; car
on a d'abord (P — p)* -+- (Q — q)2 = PQ ; ensuite, nommant, comme plus haut, l'angle PCE, y, et pareillement l'angle QCE, Y, on aura
p — CPXsiny, ç = CPxcosy, P = CQxsinI\ Q = CQXcosF;
donc
Pq - Qp = CP X CQ X sin ( T - •/ ) = - CP X CQ X sin PCQ,
et
Vp + Qq = CP X CQ X cos(T - y) = CP x CQ x cosPCQ.
Donc, faisant ces substitutions, on aura
o y __ \/pq' -+- CP ' X CQ' X sin2PCQ tang~ ,-hCPxCQxcosPCQ
De même, si P' et Q' sont les lieux apparents des astres P et Q, on aura
y/t>7Q7Vp7C2xQ7C2Xsin2P/CQ' lang " n-P'CxQ'CxcosP'C^
17. Les formules précédentes ont lieu généralement, quelles que
soient les positions des astres P et Q; mais, si l'on suppose que l'astre Q
tombe au point C, alors il est visible qu'on aura P — o, Q = o ; donc
M = o, N = o; et, comme L2 + M2 + N2 = i (hypothèse), on aura
L = i ; c'est aussi ce qu'on peut trouver, d'après les valeurs de L, M, N,
en y faisant A= a, B — ]3. On aura donc dans ce cas tang2= \p2 -4- q- ,
ce qui s'accorde avec les résultais du n° 14, où 5 est la même chose
que 2 dans le cas présent, c'est-à-dire, la distance angulaire des deux
astres C et P. Mais la distance apparente 2' ne sera plus la même que
la distance apparente ô' du numéro cité, pour laquelle on a la formule
tangc?'= y^2 H~ ? '*; car ^i P' et Q' ne seront pas nuls, mais auront les
valeurs suivantes
i-HX
qui sont, comme l'on voit, l'effet de la parallaxe de l'astre Q ou C, qu'on avait supposée nulle dans le cas du numéro cité.
18. Au reste, si l'on voulait aussi connaître l'angle que la ligne PQ fait avec CE, il est clair qu'en nommant a cet angle, on aurait (*)
GC - FC P - p
lang7=GlJ^FP = û=7
(*) L'angle que les deux lignes CG et PQ forment entre elles n'est égal, comme M. Henry l'a remarqué, à celui qui est compris entre le cercle de latitude du point C et le grand cercle qui joint les lieux vrais des deux astres, que dans le seul cas où l'un deux se trouve réellement au point C; ceci, au demeurant, n'a aucune influence sur la suite du Mémoire.
et cet angle a sera celui que le grand cercle passant par les lieux vrais des deux astres fera avec le cercle de latitude passant par le point C, dont la longitude est a et la latitude |3.
Donc aussi, désignant par a' l'angle du grand cercle qui passe par les lieux apparents avec le même cercle de latitude, on aura
, v-p' langff = QW
Article II. — Simplification des formules précédentes, et manière de faciliter le calcul de ces formules par le moyen de quelques Tables.
19. Nous venons de résoudre le Problème des distances apparentes des astres, par une méthode qui joint à la plus grande généralité toute l'exactitude et la simplicité dont la matière est susceptible. Mais, comme dans cette méthode on a supposé que la position du plan de projection était arbitraire, celte position dépendant uniquement des angles indéterminés a et /3, dont le premier représente la longitude, et le second la latitude du point de la sphère auquel le plan de projection est supposé tangent, il est visible qu'on pourra rendre la solution du Problème encore plus simple, en déterminant convenablement la valeur des angles dont il s'agit, ce qui n'apportera d'ailleurs aucune restriction ni à la généralité ni à l'exactitude de cette solution : c'est ce que nous allons examiner.
On a trouvé en général, pour la détermination de la distance apparente 2' ', la formule rigoureuse
ft H-P//4-QÇ
dans laquelle
, m — mp. , n — rrrv
M-IIr, N-IIv
et
/ = cos(a — ce) cosb cos[3 4- sinb sin(3,
m = sin (a — ce) cosb,
n = sin b cos (3 — cos {a — ce) cos 6 sin (3,
L = cos (A — ce) cosBcos(3 -i- sin B sin (3,
M = sin (A — ce) cosB,
N = sinBcos(3 — cos (A — ce) cosBsin{3,
/ = (cos0 cosep cosa + sin0 cosep cosco sina -+- sinepsinw sina) cos [3 -+- (sincp cosco — sinô cosep sinco) sin(3,
[j. = sin 9 cos 9 cosw cos a + sin 9 sinco cos a — cosô cos 9 sina,
v = (sincp cosco — sin 0 cosep sin w) cos (3
— (cos0 cosep cosa -4- sin0 COS9 cosco sina + sin9 sinco sina) sin (3.
Dans ces expressions, A est la longitude d'un des deux astres, que nous nommerons dorénavant le premier, B est sa latitude, et II est le sinus de sa plus grande parallaxe de hauteur; de même, a est la longitude de l'autre astre, que nous nommerons le second, b sa latitude, et zô le sinus de sa plus grande parallaxe de hauteur; ensuite, co est l'obliquité de l'écliplique, Q l'ascension droite du milieu du ciel au temps de l'observation, et cp la latitude corrigée du lieu de l'observateur (7).
Enfin on se souviendra que les quantités précédentes sont telles que
/2 + m5 -+-«' = 1, L2 + M*-f-N' = i, l2 -+- fi2 -+- v2 = 1 , ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.
20. Comme dans les formules précédentes les angles ce. et /3 demeurent arbitraires, il s'agit maintenant de voir quelle valeur il convient de leur donner, pour qu'il en résulte la plus grande simplicité et commodité dans le calcul.
Et d'abord il est visible que ces formules se simplifieront beaucoup
en faisant /5 = o et a == A; car alors on aura, en supposant a — A = /,
/=cos£cos/;, m = sint cosb, n = s\r\b, L=cosB, M = o, N=sinB,
X = cosO coscp cosA + sin0 coscp coswsinA -+- sin<p sinwsinA, |7.= sinS coscp cosm cosA -+- sin9 sine.) cosA — cosô coscp sin A, v = sincp cosm — sinS coscp sinco.
Ces suppositions consistent, comme l'on voit, à prendre le plan de projection perpendiculaire à l'écliptique et tangent au cercle de latitude du premier astre,
21. En second lieu, on aura aussi une grande simplification en gardant la supposition de a — A, et en faisant pareillement |3 = B au lieu de /3 = o; car par ce moyen on aura L = 1 , M = o, N — o; mais, en revanche, les valeurs de /, m, n et de )., p., v seront un peu plus compliquées.
Faisant donc a. = A et /3 = B, et supposant a — A = t, b — B = u, on aura
/ = cosf cosBcosft -+- sinB sin/> = cosm— 2 sin2- cosB cos£>,
.m= sinf cos/>, n = cosB sin£> — cos/ sinB cos/> = sin« -+- 2sin:- sinB cosb;
ensuite
Et, si l'on relient les valeurs de 1, [j., v du numéro précédent, et qu'on désigne par X, p. , v les valeurs de ces quantités qui ont lieu dans l'hypothèse présente, on aura
À-- XcosB -1- vsiuB, p.— ;/, v = vcosB — XsinB;
de sorte qu'il n'y aura qu'à mettre dans les expressions de P', Q', //, q ,
au lieu de X, v, les quantités X, y.
