La réduite en /sera donc, généralement parlant, du degré
CT
mais cette équation pourra toujours s'abaisser à un degré inférieur par des considérations semblables à celles des nos 57 et 59. En effet, si rs est
un nombre premier, il est facile de prouver par des raisonnements analogues à celui du n° 56, que l'on pourra suppléer aux permutations des racines x , œ&+*\ x{2™+,>,... en x", x{rs+2\ x(2CT+2),... en x'", ,r(ra+3\ #(2CT+3), ... en, etc., en substituant successivement dans l'expression de/ les puissances a2, oc3,..., y™~K a la place de a; de sorte que si l'on met y au lieu de a dans l'expression de/, et qu'ensuite on élimine y par le moyen de l'équation
■ =rO,
ou bien
on aura une équation en /telle que
la(|uelle sera un diviseur de la réduite en/; et les coefficients F, (>.. seront déterminés chacun par une équation du degré
ce qui donnera autant de diviseurs de la même réduite, dont chacun sera du degré zs — i .
Si v n'est pas un nombre premier, alors il faudra chercher, comme dans le n° 60, l'équation dont les racines seront les puissances de a qui auront pour exposant des nombres premiers à v en y comprenant l'unité, et, désignant cette (''((nation par
on éliminera, par son moyen, y de l'expression de/; on aura une équation en /telle que
p-{ Vf'-' + G/X~J '-. . . o,
où chaque coefficient F, G,... ne dépendra que d'une équation du dejçré
de sorte que l'on aura par là autant de valeurs de F, (i. .. el par consé-
quenl autant d'équations en / du degré X, lesquelles seront les diviseurs de la réduite en/.
Soit, par exemple, \j. = 6 :
r" On pourra faire v = 3, w=2, et la réduite en /sera du degré
- — i5; et, à cause de v> — 1 = 1, elle ne pourra plus s'abaisser par
la méthode précédente.
2 3 4 5 20 On pourra faire v = 2, rs — 3, on aura - -—-- = 4o pour le degré
de la réduite en/; et comme zô — 1 = 2, on pourra résoudre cette réduite
en vingt équations du second degré chacune, moyennant une équation
du vingtième degré.
65. Revenons maintenant aux formules du n°51; et il est clair que l'équation proposée (a) pourra être regardée à son tour comme le résultat de l'élimination de y faite par le moyen des équations (c) et (cl). Ainsi, si l'on regarde les coefficients A, B, C,... de l'équation en y comme donnés et les coefficients F, G,... de l'expression de x en y comme indéterminés, on pourra, par la comparaison des termes de l'équation résultante de l'élimination de y avec ceux de la proposée, déterminer ces derniers coefficients, pourvu que leur nombre ne soit pas moindre que (x; ce qui ne sera point à craindre tant qu'on prendra
X = - ou — ; et si l'équation en y est prise telle qu'elle soit résoluble,
ce qui peut avoir lieu d'une infinité de manières différentes, on aura la résolution complète de la proposée; mais la difficulté consistera dans la détermination des coefficients indéterminés F, G,....
On facilitera cependant beaucoup cette détermination ainsi que l'élimination de y, si l'on change l'expression de x, donnée par l'équation {cl), en une autre où l'inconnue y ne se trouve qu'au numérateur; c'est ce qui est toujours possible en multipliant le haut et le bas de la
fraction
F + G/-!-Hf + ...+ Kr'
