Considérons, en général, l'équation
dont les racines sont 1, a, a2, a3 a^\ et supposons que le nombre /j.
soit résolu dans les facteurs premiers/-, s, t dont chacun soit contenu
DES ÉQUATIONS. :m<
une ou plusieurs fois dans le nombre fi, il est facile de voir que les puissances de ce, qu'il faudra exclure, pour avoir uniquement les puissances a, a\ aCT, «p,... dont les exposants sont premiers à \x, il est facile de voir, dis-je, que ces puissances seront celles dont les exposants seront des multiples des nombres r, s, t, . . . ; de plus il est clair, par ce qu'on a démontré dans le n° 24, que ces mêmes puissances de a seront les racines des équations
donc, si l'on fait pour plus de simplicité
et qu'on divise l'équation y# — i = o successivement par celles-ci
r'-i = o, y'y'— 1=0, y*'"—i = o,..., on aura les équations suivantes
yf / -u jl»-'l»' 4. jn-sn' 4. ... + I — o,
y,-—/' ) y\fi-tp" + jM- su" +..«'4.1 = 0,
,:-;-'" 4- ji- 2/" 4- ,)•:- "V-f . . . 4- I = O,
dont la première aura pour racines toutes les puissances de a jusqu'à r/y~{ , à l'exception de celles dont les exposants seront des multiples de / ; la seconde, toutes les puissances de «, à l'exception de celles dont les exposants seront des multiples de .v; la troisième, etc.; d'où l'on peut
conclure que, si l'on cherche le plus grand commun diviseur de toutes ces équations, on aura l'équation cherchée, dont les racines seront les puissances », y\ y", '/J , 't qui sera par conséquent de la forme
y -4 $f ' ( yy' ' I . . . * yy' t >.r -f 1 0.
Ainsi, par exemple, si u. i, on aura / ;, jut' >.< el l'on aura cette
seule équation
dont les racines seront a et a3.
Si [x = 6, on aura r= 2, s = 3; donc ;x' = 3, /ul" = 2, ce qui donnera ces deux équations
dont le plus grand commun diviseur est
équation dont les racines seront par conséquent « et a5.
Si p. = 8, on aura r = 2; donc jx'= 4» et l'on aura cette seule équation
dont les racines seront a, a3, a5, a7, et ainsi de suite.
Quant à l'exposant )., on peut le déterminer à priori d'après les facteurs du nombre (x, car on aura toujours
comme on peut le démontrer aisément en cherchant combien, parmi les nombres moindres que p., il y en aura de premiers à [x. ( Voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome VIII.)
61. Ayant donc trouvé ainsi l'équation (i), on s'en servira pour éliminer/de l'expression de/, et il en résultera l'équation (h), dont tous les coefficients F, G,... seront des fonctions des racines a;', x" ', sans «,
telles qu'elles ne seront susceptibles que de " ,' ^ variations,
par toutes les permutations possibles des racines x', x",. . . entre elles;
de sorte que chacune de ces fonctions sera donnée simplement par une
équation du degré
comme on l'a déjà dit plus haut.
Il se peut au reste que ces équations en F, ou en G, etc., soient encore susceptibles de quelques réductions; c'est ce qui dépendra de la forme des fonctions de x', x",... par lesquelles les quantités F, G,... seront exprimées; mais nous n'entrerons pas dans cette recherché, d'autant que dans le cas où l'exposant p. est un nombre composé on peu! simplifier la Solution de M. Tsehirnaus en ne faisant évanouir que quelques-uns des termes intermédiaires de la transformée (52j.
62. Nous allons donc chercher à priori les résultats qu'on doit avoir dans ce cas, et nous supposerons, comme dans le numéro cité, que, [x étant égal à vzs, tous les termes de la transformée en y dont les exposants ne seront pas divisibles par ts disparaissent, en sorte que, faisant ya = z, l'équation (c) devienne
r + Dz-1 -+• Kz'-'-h. . . +V
laquelle aura par conséquent v racines que nous dénoterons par z', z", z'",..., z(v); et comme l'équation yu= z donne
y = v 2> ou bien, en dénotant par i, «, a2,..., a"-' les sr racines deym — i = o,
y^=^/z, oty/z, z'^z,..., y." ' y z,
on aura, en substituant successivement à la place de z les v racines z', - , z",..., et faisant pour plus de simplicité
on aura, dis-je, ces a valeurs dey
al",
qm seront celles des racines y . v . y ,. .., jW. m.
Substituant doue successivement ces valeurs à la place de y dans l'équation subsidiaire (b) du n°51, et mettant en même temps x , x", ad",... à l'a place de x (53), on aura les \i. équations suivantes
x'f -hfx't-* 4- gx'^2 -+- . . . -+ - 1 -4- 'Ç — o, x"-< +fdc"*-1 4- gw"?-» -+- . . . -+- / -+- cc'Ç — o, x'"* -4-/V"e-' -+- gx'"<~%-\- ... + /+«!?'=o,
[#("+O]p+y[#0*+O]f-> + g-|y(<»-H)]p-'-)-. . . -t- / + Ç" =o, [.r(ra+2>]? -t-/[.re*+=)]p-« -+■ g-[^(ra+2)]?-2 + ...+ /-+- </X"=z o, [.&(-■+»)]•? +y [jf(>»+!)](-i + g-[x(ra+:»]f-2 -4- . . . -I- / -+- a}'i"— o,
[arC»-")]? H-/[^('»+0]p-'-f-g-[^("+<)]?-2 + . . . + /-+- Ç'" — o, [^(2n+2)]e + /[jc(2ra+2)]p-' + g-[jc(2ra+2)]f-2-i-. . . 4- /+ tx'Ç" — o, [x(™+*)]t + f [x(*-*-»)]f-i + g-[ar(*»+i)]ê-» + ...-+- / + a^'"= o,
Or, comme on doit supposer dans ce cas (52)
pour que le nombre des indéterminées/, g,..., /soit aussi \j. — v, il est clair que, si dans les p. équations qu'on vient de trouver on élimine d'abord les v quantités 'Ç, Ç", £"',..., Çv), il restera p. — v équations, qui serviront à déterminer les p. — v inconnues /, g,..., L
Imaginons maintenant qu'on ait trouvé, par les règles ordinaires de l'élimination, l'expression de/ (on appliquera les mêmes raisonnements aux autres indéterminées g,..., /); on cherchera toutes les valeurs différentes de /qui peuvent venir des permutations des p. racines a?', x",... entre elles, et l'on aura les racines de l'équation en/, laquelle sera par conséquent d'un degré égal au nombre de ces différentes valeurs.
Or les racines a?', x",... étant au nombre de p., seront susceptibles en général de 1.2. 3... p. permutations; mais il faudra défalquer de ce
nombre les permutations qui ne produiront aucun changement dans l'expression de/.
Pour cela je remarque d'abord que si l'on suppose qu'on échange respectivement les racines x', ce",..., x(rn) en x{™+*\ x{™+2),..., x{2m), ou en ■r -rTJ-\ x(2u+2),..,, x'3™1, ou, etc., il en résultera dans les équations précédentes les mêmes changements que si l'on échangeait 'Ç en 'Ç", on en T", ou, etc.; de sorte que les permutations des quantités Ç, Ç", ?'".••• entre elles seront équivalentes aux permutations des racines x', a?(rT M , .r '2ct~m ; , . . . entre elles, ces permutations étant combinées avec les permutations correspondantes et simultanées des racines x", x(71+2), x'2™^2
entre elles, avec celles des racines x'", x<rj+3), x{2™~*~3>,... entre elles, etc.
Or, comme dans la détermination des coefficients y, g on doit faire
disparaître les quantités Ç', 'Ç", Ç",... par l'élimination, il sera indifférent que ces quantités soient mises les unes à la place des autres d'une manière quelconque; par conséquent il ne résultera de leurs permutations quelconques aucun changement dans les valeurs de/, g,...\ donc, puisque ces quantités élanl au nombre de v sont susceptibles de [.2,3.. .v permutations, voilà autant de permutations entre les p. racines x', .r . x'" — , xw qui ne produiront aucun changement dans les valeurs de/, u — . d'où il s'ensuit que, dans le nombre total i.2.3...jJt des valeurs particulières de /, chaque valeur se trouvera répétée 1.2.3. ..v fois; par conséquent il ne pourra y avoir qu'un nombre de valeurs différentes de/
exprimé par
i . a . 3 . . . fJ.
(i.'i. .Maintenant si l'on considère les permutations des racines X . x ", i . ' entre elles, et qu'on considère en même temps les 777 premières équations du n" 62, lesquelles renferment ces racines, on y pourra appliquer des raisonnements analogues à ceux du n" 55, et l'on en conclura que les échanges de la racine .r' en les autres racines ./. r
r a ne produiront aucun changement dans les valeurs de /. g — piiis- ,|ih ces échanges donneront les mêmes résultats que l'on aurait en substituant successivement y'~\ v2 1 . sc'Ç aP' ' '1' à la place de Ç'.
■Vlk SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
Donc le nombre des valeurs différentes de /ne pourra être plus grand que
- divise par m.
On tirera des conclusions semblables de la considération des tz racines x(n+l\ #(CT+2), a?(CT+3\..., x{2™\ comme aussi des racines x^+{), x 2rT+2), a?(2CT+3\..., a?(3CT), et ainsi des autres; et comme les combinaisons de ces racines entre elles sont totalement indépendantes, il s'ensuit qu'il faudra
diviser le nombre ' ' "^ autant de fois par rs qu'il y a de ces systèmes
de zs racines chacun, c'est-à-dire v fois, nombre des quantités Ç', »",..., 'Ç '' ■ Donc le nombre des valeurs différentes de /ne pourra être que
par conséquent l'équation en /ne devra monter qu'au degré marqué par ce même nombre.
C'est aussi ce qui s'accorde avec ce que l'on a trouvé à la fin du n" 52: en effet, il est clair que le nombre
ij-
i . 2 . 3 . . . y m * se réduit d'abord à celui-ci
V(V -f- l) (V -+- 2). . .fi
yrs'
et ensuite, à cause de fx == vsr, à celui-ci
