L -i- M r -h N x1 4-. . . ■+- R.rv
par un polynôme convenable en y, qu'on pourra trouver de la manière suivante.
On supposera
z = L -+- Mj- -4- N.r2 -4- . . . -+- Rr1,
et comme y est déterminé par l'équation
on éliminera y par le moyen de cette équation, ce qui donnera une équation en z du degré p. qu'on pourra représenter ainsi
z*-\- az»-' -4- (32^— 2 -4- yz^~i + . . .— cù = o,
où les coefficients ce, [i, 7,..., ta seront par conséquent des fonctions counues des A, B, C,... et L, M, N,....
Ainsi l'on aura
z(z*~x -4- «r!4 pz^-'-H. ..) = »»
d'où l'on voit que la quantité 3 deviendra égale à &>, et par conséquent indépendante de y, étant multipliée par le polynôme
z»-' -4- xz^-'-h fiz*-3-h
De sorte que si l'on remet dans ce polynôme, à la place de z, sa valeur en y, on aura le polynôme cherché, dans lequel on pourra, si l'on veut, n'admettre que des puissances de y moindres que y4, parce qu'au moyen de l'équation
y* -4- ky*-1 -h . . . n
on pourra toujours faire rentrer les puissances dey supérieures à y'-' dans la classe des inférieures.
De cette manière on pourra donc ramener l'équation [d] à la forme
/. x - <i by ■(■)'. .'/.)'.
de sorte qu'on pourra toujours regarder l'équation proposée a
comme la résultante de l'élimination de y, faite par le moyen de l'équation (c)
y + XyV-i + fi Ji*-2 + . . . -h V =- O,
c! de l'équation (Je). On supposera donc les coefficients a, b, c,..., k, dont le nombre est \x, indéterminés, et l'équation provenante de l'élimination de y étant comparée terme à terme avec la proposée donnera \j. conditions qui serviront à déterminer les quantités a, b, c, — Si l'on réduit l'équation en y à deux termes tels que
la méthode précédente reviendra à celle de MM. Euler et Bezout, dont nous avons déjà fait mention plusieurs fois dans le cours de ce Mémoire. Le détail où nous venons d'entrer sert à rapprocher cette méthode de celle de M. Tschirnaus, et à montrer leur analogie et dépendance mutuelle.
66. Comme tout se réduit à déterminer les inconnues a, b, c,..., k dont le nombre est p., par la comparaison des termes de la proposée avec ceux de la résultante de l'élimination de y, nous remarquerons d'abord à l'égard de cette dernière, qu'elle sera nécessairement exprimée pai une fonction rationnelle et entière des quantités a, b, c,..., k et x, où ces quantités rempliront partout le même nombre de dimensions u, comme on peut aisément le conclure de la théorie d'élimination donnée dans le n° 13; d'où il s'ensuit qu'en ordonnant cette équation par rapport à x les coefficients de tous ces termes se trouveront être des fonctions rationnelles, entières et homogènes des quantités a, b, c,..., k, et dont les dimensions seront o, i, 2, 3,... pour les puissances x^, a?^1, xv-*
Ainsi le premier terme x^ n'aura d'autre coefficient que l'unité, le second terme xv~' aura pour coefficient une quantité de la forme
aa-4-(35 + yc-+-...,
a, /S, y étant des coefficients numériques, le troisième terme x^"2 aura
pour coefficient une quantité de la forme
c.(ii -+- (3 «6 -4- yb2 -+- oac -:-..., et ainsi des autres.
Égalant donc le coefficient du second terme à m, celui du troisième terme à n, et ainsi de suite, on aura p. équations entre les p. inconnues a, b, c,..., k, dont la première sera du premier degré seulement, la seconde, du second degré, la troisième, du troisième, et ainsi des autres; de sorte qu'en éliminant ces inconnues à l'exception d'une seule quelconque, on aura, en général, pour la détermination de celle-ci une équation finale du degré marqué par j.2.3...p.; ce qui est contraire au sentiment de M. Euler, mais ce qui s'accorde avec ce que M. Bezout a trouvé par induction.
67. Pour confirmer davantage cette conclusion sur le degré des équations en a, ou b, ou c,..., et pour voir en même temps dans quel cas ces équations sont susceptibles de simplification, nous allons chercher à /mon l'expression des quantités a, b, c,... en x', x" ', x'",..., racines de la proposée.
Faisons, comme dans le n° 54, >/— V= u, et désignant par i, a, fi, y,... les p. racines de l'équation
on aura //, y.u, |3w, y//,... pour les p. racines de l'équation
yv- .)- V = o ;
donc, substituant successivement ces racines dans l'équation (k) du n" 65 ;i la place de y, et mettant en même temps les racines x\ x", x'\ . . . à la place de .r, on aura les p. équations suivantes
x' = a ■+■ bu + eu1 -+- du* ■+-... H h /'• ' .
x" a y.bu-{- x7cui-+- y?du '■•--. . . y1 '/,n x'" — a-4- (36m-+- Ç>*cu7-h frdu3-*-. . . ■+■ (3"« '/.//• ',
.r" n y bu -4- f'cu1 ■+■ f*a*U • ... • /' 'lu
par lesquelles on pourra déterminer les p. racines inconnues a, b, c
