III. 4a

Cette détermination n'a aucune difficulté; car puisque i, a, [i, ■/,... sont les racines de l'équation j|X — i = o, laquelle manque de tous ses termes intermédiaires, on aura, comme on sait,

c'est-à-dire que la somme de toutes les racines élevées chacune à une même puissance quelconque sera toujours nulle lorsque l'exposant de la puissance ne sera pas divisible par jjl; et à l'égard des puissances dont l'exposant sera multiple de jx, il est visible, par l'équation même y* — i = o, qu'on aura y^= i, x2iL = i,..., et ainsi des autres racines. Donc, si l'on ajoute ensemble les \x équations du numéro précédent, après les avoir multipliées respectivement par les jj. racines correspondantes i , «, |3, . . . élevées successivement aux puissances fj.'eme, (p. — i ,le'ne, (fj. — 9.)ieme,..., jusqu'à la première inclusivement, on aura sur-le-champ

ua = x' + x" + X1" -4- X1V -r . . . , u ub = x' + «i*-1 x" H- ^-' x'" -4- yi1-' x'v -I- . . . , ti«!c =/+ a!^~2x" -t- ^2j:-'" -4- y^2jc'v -+-..., fjia3d = x' -+- a1''3^" -(- fi*-3x'" -+- y^"3x'v 4- . . .,

On voit d'abord que la quantité a doit être donnée par une équation linéaire, puisqu'elle conserve la même valeur, quelque permutation qu'on fasse entre les racines x', x",...; en effet, à cause de

on aura a

Quant aux autres quantités ub, u2c, ii*d,..., chacune d'elles dépendra, en général, d'une équation d'un degré égal au nombre de toutes les permutations possibles entre les u. racines x', x", x nombre qui est,

comme on sait, marqué par i. 2.3. . . u; car à chacune de ces permuta-

tions il répondra une valeur différente des quantités ub, u2c, u3d,...; mais ces valeurs peuvent avoir entre elles des relations telles, que l'équation dont elles seront les racines puisse s'abaisser à un degré inférieur; c'est ce que nous allons examiner.

68. Pour cela nous remarquerons d'abord que, comiîie la quantité u

demeure indéterminée, on pourra lui donner telle valeur qu'on voudra;

la supposition la plus simple est de faire, avec M. Bezout, u = i , et par

conséquent

V = — ii* = — i ;

nous adopterons donc cette hypothèse et nous supposerons en même

temps

a' . a" . ad1-')