Puisque |3 = oc2, y = a3,... (68), on aura
6' — 1 + a.% -+- *>%'-+- a3l'"-h . . . -+- oc»-<£<*->\
a, (3, y,... étant avec i les racines de l'équation y^ — i = o.
Connaissant donc ainsi les racines de l'équation en 0, on pourra déterminer par leur moyen les valeurs des coefficients T, U, X,...; car on aura, comme on sait,
T = fl'-t- 0"+ 6'"--..., \] — B'6"+6'd'"+...,
On facilitera beaucoup cette détermination si l'on cherche la somme
des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., jusqu'aux fi'*""*,
des racines 0', 6", 6'", . . . , et pour cela il sera utile de l'aire entrer dans le calcul la quantité
0° =: l -V %-r- l"+ l'+ . . . -+- ÇCH-0 ;
en sorte que les quantités 6°, 0', 0",... répondent aux racines i, c/., fi.... de l'équation yP — i = o.
Or, si l'on élève successivement le polynôme
aux puissances seconde, troisième, etc., et qu'on dénote par c2, |3, |., ,..., les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de se, après avoir substitué partout i à la place de a^, a à la place de a(W"1 et ainsi de suite; il est facile de voir, par les propriétés des quantités i , a, j3, y,... ^67), que les sommes des puissances premières, secondes, troisièmes, <jtc des quantités 6°, 9', 0",... se réduiront à u.c. \j£2< ylt
Or
donc, si l'on retranche respectivement des quantités u|, p.|2, /j.ç;, ,... les puissances première, seconde, troisième, etc., de ' — mf, les restes
seronl les sommes des u — r racines S', 0", $'",.•■ de leurs carrés, de leurs cubes, etc., de sorte qu'on aura, par les formules connues,
U[fx£— (- m ' T [j .1, m •", ■/£ i m
l'A. Maintenant, si l'on l'ait dans les expressions des quantités T, ( . \. toutes les permutations possildes entre les racines a . i . a
on ne trouvera pour chacune de ces quantilés que 1.2. '3. . . (u. — 2) valeurs différentes, lesquelles viendront uniquement des permutations entre les p.— 2 racines x'", xlv, . . . ; ainsi l'on aura autant d'équations en 0, telles que
e*- -tô^-uô'-3-. . . = 0,
lesquelles étant multipliées ensemble donneront une équation en 5 du degré 1 .2.3... (p. — 1), et dont tous les coefficients seront déterminables par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, ... de l'équation proposée.
Cette équation en 6 étant ainsi trouvée, si on la divise par une équation du degré p.— 1 telle que la précédente, on aura jx— 1 équations de condition entre les quantités T, U, X,... par lesquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de U, X,... en T, et l'on parviendra ensuite a une équation finale en T qui ne pourra monter qu'au degré 1 . 2 . 3 . . . ( ij. — 2 j .
En effet, puisque la quantité T n'est susceptible que de 1.2. 3 (0. — 2)
valeurs différentes, si l'on appelle ces valeurs T, T", T", ..., T(v), en supposant, pour abréger,
v = i.2.3....(fji — 2 ,
on aura une équation en T, telle que
T' — tbT-' 4- pT"2 — cT'-> '-+-. . . = o,
dont les racines seront T, T", T", ..., en sorte qu'on pourra, si l'on veut, déterminer à priori les valeurs des coefficients zs, p, g, . . . d'après celles des racines T', T",....
De cette manière on aura donc l'équation en T directement et sans recourir à l'équation en 5 du degré v (/x— 1); et l'on pourra trouver aussi, indépendamment de cette dernière équation, les valeurs des autres coefficients U, X,.. . en T, comme nous le démontrerons plus bas dans la Section quatrième.
Concluons de tout ce qui précède que la méthode de MM. Euler et Bezout conduit nécessairement à une réduite du degré 1 . 2 . 3 . . . ( u — 1),
laquelle, quand l'exposant \j. de la proposée est un nombre premier, doit être décomposable en i . 2. 3. . . f a — 2) facteurs du (jui — iyème degré chacun.
Ce résultat s'accorde, comme on voit, avec celui que l'on aurait par la méthode de M. Tschirnaus; ainsi l'on y pourra appliquer des remarques semblables à celles que nous avons faites dans le n° 58.
74. Pour éclaircir la théorie précédente par un exemple, prenons l'équation du cinquième degré
xb -t- mx* -+- nx3 -+- px- - qx -+ /• = o,
dont les racines soient désignées par x' , x", x'", a?" , x\ On supposera donc
x =z a -+- by -\- cy2 -f- dy* -+- ey*,
et l'on regardera l'équation proposée comme le résultat de celle-ci et de
l'équation à deux termes
ou bien, en faisant, comme dans le n° 68, V= r,
MM. Euler et Bezout ont donné dans leurs Mémoires sur ce sujet l'équation finale, qui doit résulter de l'élimination de y dans le e;is de m = o et de a = o, et dont la comparaison avec la proposée fournit les quatre équations nécessaires pour la détermination des coefficients h, c, d, e\ mais ces savants Auteurs n'ont point donné le résultai qui doit provenir de ces quatre équations par l'élimination de trois quelconques des quatre inconnues qu'elles renferment, et cela à cause du travail immense que celte élimination demande. La méthode précédente fournil les moyens de trouver ce résultat à priori, et mois allons en donner un
essai.
On aura d'abord 67
el ensuite (7\)
i-v^ n w fl W r W*
5 , 6", $'", 9V étant les quatre racines de l'équation 0« — T03 4- U03 — X0 + Y = o,
laquelle sera un diviseur de l'équation du vingt-quatrième degré qu'on doit trouver pour la valeur de 0.
Maintenant, pour avoir la valeur des coefficients T, U, . . . , il faudra élever le polynôme
x' 4 ax"-h a'x'"-\- câx" 4- a*xv
à la cinquième puissance, ce qui donnera, à cause de a5 = i, cet autre polynôme
l 4- «£' + a2 £"4- a3 £'"4- a1 \'\ OÙ
H = .r'5 4- ^"5 + #'"s 4- ^IV5 + #ïS 4- i 20x'x"xmx"x"
4- 2o[x'3(x" x" 4- x'"xiv) 4- .r"3 (jrV4-a?"a?') 4- a?"'8(#'a;v 4- ^"jt,v)
