rIV3(.r'.r"4- #"' jfvj + xyi(x'x" 4- a?'V i
4- 3o[^'(x"2xv24-^'"2x,v2) 4- x" (x'2x'"2-h x,v2x*2) 4- .r'"0'2.rv2 -+- x"2x"2)
-±- xiv(x'2x"2 + x'"2 x"2) 4- ^'jf'^'^-f-^-"^'"2)],
t — 3 ( ^- OC m\~ OC OL ~t~ OC OC ~ r~ «2? (£7 — [ — ,37 .37 ) ~v~ ■ ■ • •
El l'on aura d'abord
Or, en considérant l'expression de £, on voit que les termes
x'* 4- .r"5 -+- x'"h 4- .r"5 4- xrt 4- 1 20 x'x"x'"xt'' ,rv
peuvent s'exprimer immédiatement par les coefficients m, «,... de l'équation proposée; et il est facile de trouver que la valeur de ces termes sera
m '• - 5min — 5 m2 p 4- 5m [q — n2 4-5 nj> — 1 1 5 r.
Donc, si l'on fait pour plus de simplicité
Z = 2 [x'3ix" X" 4- x'"xiy) -t- x"3 {X' X'"-— XiyXy) + x'"3(x"x" 4- x' X* )
4 x"3(x'"x" ~- x' x' ) 4- xy3(x'x" -\-x"x"')}
4- 3 [x' {x"2xyl-h x'"2xiv2 -f x" | .r'2 x'"J -!- x112^2 ) + a?"'(a;"2a?IVÎ + x'7 xyi )
-- r" ,r'"2.rï24- a;'2^'2 ) H- ar' (a:'2 x,v2-t-^"J *'"•')], on aura
T — 5o2 — 4 m'j 4- 25 [ /??3« — «i2/; + m (ç — ra2 -i »y> — 25 i |,
cl l'on trouvera que la quantité z ne sera susceptible que des six valeurs suivantes, que nous désignerons par z\ z", z"\ zlv, zy, zVI:
z' = i[x'l(x"xy -* x"'x,y)-\ x"3 {x'x'"-h xivxy) + x"'3[x"xty -+■ x'xy)
4~ x"3{x'"x': 4- x' x") - xy>{x'x" 4- x"x'")] ■ \[x'{x' Fvs | .,' \r"2)-<r x" <x'2 x'"2-h- x"2x>2 > - x"' x"2x"2-\ x'2xyi)
-+- xiy{x'"'xv2 4- x'"- x'"2 ) -f- xv (x'2 .r"2-+ x'"'.r' Ji|,
z" = 2 [x'3 [x"x1'1 4- x'"jcvj 4- ,r"3(.r' x'" 4- a?"a;T) 4- ar'"3 (^•".r' -t- x' x"
- xy3 [x'"x" 4- x' x" ) 4- x'13 i x'.rv 4-- jc"x'" i] 4- 3[x'x"2x"2-'- x'"2xy2 -h x"{x'2x'"2 4- x"2x*2)-h x'" [x"2xy2-hx'2xiy2
-^- Xy< x"'2x"2 + x'2x"' ) -\- x's x' .rv- ■ x"2x'"2)],
: •? I jr'3 (.r' jtv 4- x"'jr" H x"3{x'xiy + x"'Xt ) ■+- xlvd{x"xl x'xy)
-+- x"'3 {xty x* -\- x' x" ) -h xy3 {x'x'"-\ x"xxy)] 4-3[a ' - : .r'"2.r,v2j4--.r"'.r'2 x"2~- x'"2xy2)-\- x'\ x' %x"'lA ■ .»•' a?'
-4- .r"'1j|,;xïl 4-x'2.r'- - a?' .r'-. r"- | c <
z,% ■ i a a .riv .rv ' a a " a "a ' .r'1 a?' xy ■ a •
4- .r1 3 a?'"a; ' ' ■+ x' x" ) 4- x'"3 ( x' xv 4- a "a " 4- !i[.r' .T''2.r'"-'- .r'*-.rv-' c' x'2 X"2 • a^a?1 I < -
zv > i '(a ' .r0 a?T) • ' V >< i i c1 ' ' t'a
zVI = 2 [a?'3 (a:" a?" -+- x'" ' xy ) -4- x"3(x' x% + ^'"jt" ) -+- xv3(x"x"' -- a^ar"
-+- x'"3! #IV#V H- x' x" ) -4- a:"3 ( a-' #"' - x"x" ] + 3 [a?' (a-"2^'12 ~! a'"2.rv2) -H- a'" ( x'2xv2 4- x"'2x,vt) -h a-' ' x"7x"'7 -f- a-'1' a;" -
+ a?/"(a-,v,a:T2-l- a-'2 x"2) + a" (a;'2 a'"-- x"2xy*)].
En effet, si l'on fait dans ces formules telles permutations que l'on voudra entre les racines x' , x", x'",..., on verra toujours renaître les mêmes formules; d'où il s'ensuit que les six quantités z', z", z" ,... seront nécessairement les racines d'une équation du sixième degré, telle que
26 — Az'-hBz* — Cz' + D-z2 — Ez + F = o,
dont les coefficients A, B,... pourront par conséquent se déterminer par les règles connues.
On aura, par exemple,
A = z' -t- z" + z'" 4- z,v + zy -+- zvi ; c'est-à-dire
\ = /±x" {x"x'" -\- x' 'a"v -4- x"xv + x'"x" -4- x'"xy -4- x" xy | -l- 4 a1"3 ( a-' a'" + x' x" -h- x' xy -\- x'"x" + x'"xv -4- x" xy -4- 4^"° fa1' a-" + x' x'v -+■ x' xv -h x"x" -+- x" av — x" arv ) -4- ^x'wi{ x' x" -4- x' x'" ■+■ x' xs -+- x" x'" + x" a*v -4- x'" aA H- 4-^'v3 [x' x" -4- x' x'" -4- x'a-" -4- d/'ar'" -4- a:"a-IV H- x'"a,M |
-6a' [{x"x'"f-h (x"x'Kj2-\- :x"xyf-+ i.l'"x" '-f a'"a-v r - : a" .r% 2] -4- 6a" [(a-' a'")2 -4- ( a:'a-,v)2 + • x' xv f + [x'"xiv )2 -+- {x'"x'f ■ a"\rv-J -t- 6x'" [(a*'a-")2H- (x'xiv)2 + (x'x*)2-h (x"xiv)2 + {x"xvf+ (a?,va:, -' ] -4- 6xiv[{x'x" )'-■+ (a?' a?'" j2+ (ar'a;vj2 + [x"x'" )s-+- (x"xv)i-i x'" x" -} -4- 6av [(a-'a-")2-f- (a-'a:'" )24- far'a"v ,2+ ;a-".j'" -' : .r'.r" .= -;-• a-'".r'x ! .
Or on a dans l'équation proposée
— ni — x' -+- x" -i- x'" + x'v -4- xv,
n = x'x"-hx'x'"-i-x'x"-i-x'xv-hx"x"'-+-x"x"-+- a-"a,v-4- a-"\r'M- x'"xy h x"xv;
donc les cinq premiers membres de la valeur de A deviendront
4" | x's 4- x"z 4- x'"i -+- x,v* 4- xVi )
-+- !\m x'* 4- x'"' 4- x""' 4- .r'w -t- x"' ) 4- 4 x':< 4- x" ' 4- .r'"' h ar,vs 4- <*
£n( — m3-h 3mn — 3/?)4- $m(m4 — ^m2n 4- [mp — £q -h in?)
