m'/; 4- 5/n (</ — n2 — 5r 4- 5np

Pour trouver la valeur des cinq derniers membres de la quantité A, il faudra commencer par chercher celle de la quantité

{x' x" )2 -4- ( x' x'" ? + ( x' x-'v )2 -+- (x' rv ' 4 i x" x" ■ f .r".r,v)24- (^"xv )2-l- (.r'".r'v)24- {x"'xli )2 + ,r'\rv »,

que nous désignerons, pour abréger, par /; or, si l'on carre la valeur de //, on aura

n2 l ■+ 7. n I x'- 4- x"2 H x'"2 4- x,vi 4- .rv- -f- im ' .r'3 4- x"1 4- x'"3 + x'" -4- r" ) 4- 2 '.»•'' I .r"' 4- .r'"1 4- Jf,M H- .fv:

= / 4- in m2 - 2 n i > ni m* -t 3 nui 3 /; -t- 9. m' — ^m2n 4 4 "'/; 17 ( 2n* >

d'où

/=«-' 2n m' 27i un m* l 3/nn 3/»

— i( m' — ^m2n ~^ \nip \q H s/i :

maintenant il est facile de trouver que la valeur des cinq derniers membres de A sera exprimée par

6//71 <> m • n m )mn 3/>

- m* -h 5 m n '>m /> 5 /H q if rti t 5nj> :

Vr2 SUK LA RESOLUTION ALGEBRIQUE

de sorte qu'en rassemblant toutes ces quantités on aura enfin

A = - 6 mn 3 n — 2 m2 -~ 2 (8/1 — 3rn2 — nr -4- 3m« j/; -î- 16/n /»' f\m'n -.- l\mp — 4</ ~~ 9" - 10 [— m5 — 5/??/? — 5/n2y? 4-5m *y — «- — 5r — 5»/> .

On pourra trouver d'une manière semblable la valeur de chacun des autres coefficients B, C,... de l'équation z, et l'on en abrégera beaucoup le calcul si l'on fait usage des règles données par M. Cramer a la fin de sou introduction à V Analyse des lignes courbes, pour calculer la somme des produits des racines d'une équation quelconque, prises deux a deux, ou trois ii trois, ou, etc., et élevées chacune à une puissance quelconque donnée; mais nous n'entrerons point ici clans ce détail qui, outre qu'il exigerait des calculs très-longs, ne saurait d'ailleurs jeter aucune lumière sur la résolution des équations du cinquième degré; car comme la réduite en z est du sixième degré, elle ne sera pas résoluble à moins qu'elle ne puisse s'abaisser à un degré inférieur au cinquième; or c'est ce qui ne me parait guère possible d'après la forme des racines z', z", ... de cette équation.

75. Nous avons supposé depuis le n° 70 jusqu'ici, que l'exposant v. de l'équation proposée était un nombre premier; voyons maintenant ce qui doit arriver lorsque \j. sera un nombre compose.

Dans ce cas il est facile de prouver par des raisonnements analogues à ceux du n° 59 que les conclusions du numéro cité et des numéros suivants n'auront lieu que tant qu'on ne substituera a la place de u que les puissances c/\ «CT, ar',..., dont les exposants v, rs, p,... sont des nombres premiers a a; d'où il s'ensuit :

i° Qu'en désignant par >. — 1 le nombre des exposants v, rs, p,... dont il s'agit, l'équation en 0, qui est généralement du degré 1.2. 3... fa — 1),

sera décomposable en ' * ' ^ équations, chacune du degré À,

et telle que

les coefficients T, U, X,... étant donnés chacun par une équation Au

degré ^-

2° Que les X racines de cette équation en 5 étant désignées par S', S ,

'"W 'J/~6" f/6"' 0'",..., les quantités - — •> - — •> - — >••• exprimeront les valeurs de ceux 1 v- v- y-

des coefficients k, h, g,---, c, b dont le rang, a commencer par k, sera marqué par les nombres i, v, vs, p,... premiers à u.; de sorte que tous ces coefficients seront donnés par une même équation.

3° Que pour appliquer la méthode du n° 71 à la recherche des coefficients T, V, X,..., il ne faudra pas se servir de l'équation (g) Au n° 57 pour éliminer y, mais de l'équation [i] qu'on trouvera par la méthode du n° 00, et dont les racines seront u, a', a.a, a9,...; que, par conséquent, si l'on veut faire usage de la méthode du n° 72 pour trouver les coefficients dont il s'agit, il faudra d'abord chercher d'après l'équation [i) les sommes des racines <x, «\ a", y.9,..., de leurs carrés, de leurs cubes, etc., qu'on dénotera par S', S", S",...; ensuite ayant élevé successivement le polynôme

i -+- xi; + tf \" -I- a8 X" + . . . + of-1 ;<■' '

aux puissances deuxième, troisième, etc., et représentant ces puissances par

on aura les quantités

Il -4-S'£' • S";' 4-ST-» ■■•>

XÇt-t-S'^-f 8*K t S'"r-. ...,

xç.-f-sx-t-s'ç; s ; ....

pour les sommes (les racines 0', 9", $"',... élevées aux puissances première, deuxième, troisième, etc., d'où il s'ensuit qu'on aura enfin par

les formules connues

u == - t n + st + s" i" - ... - - - >.?.. h s' & + s*e -

76. Pour trouver maintenant les valeurs des autres coefficients qui, dans la série #, A, g,..., c, b occupent des places marquées par des nombres commensurables à u., supposons, en général, |x = vw, et que l'on cherche ceux des coefficients dont il s'agit dont l'exposant du rang sera multiple de v; il est facile de voir par ce qui a été dit dans le n° 68, que si l'on exprime, pour plus de simplicité, ces coefficients par

ac») fl(2'<) a(3»;

U fJ. p

et qu'on fasse v? = co, on aura

a« — x'+ oix" -f v'x"' -t- v*x" + . . . -+ a>v-lxM ;

et, ])Our avoir les autres quantités a'2v), a(8v),..., il n'y aura qu'à changer successivement w en w2, w3, —

Soit, à l'imitation de ce qui a été fait dans le n° 69,

/ = X' H- U>X' + 'j)2x'" -t- rrfx" + ....-+- r,vx~' X'" ,

et cherchons de même quelle doit être la nature de l'équation en /. Pour cet effet on remarquera d'abord que, puisque <» = u\ on aura

bi™ — au* — a;i - i :

et de là

En général, puisque i, a, a2, a8,..., *^' sont les racines de l'équation

v[X — i — o, les puissances i. ',>, '»? , o3,.--» wra l seront les racines de l'équation jCT — i = o (24).

Faisant donc rentrer les puissances de w plus hautes que co53"1 dans la classe des inférieures, l'expression de t deviendra de cette forme

en supposant

t = z'-h(ùz"-h tJz'"+ w3z'v -t- . . .+ u"-1^"),

z" = x" -+- x(a+V -+■ xi^+V 4- . . . -+- .n>- "n , z" .r"' -f- x(™+r> -4- .r''2ra+3) + . . . -+- x"- CT + 3\

77. En considérant maintenant l'équation en / dans toute sa généralité, il est clair qu'elle devrait être du degré [.2. 3. ..m., puisqu'il y a autant de permutations possibles entre les u. racines .r , x", oc'",..., et dont chacune doit donner une valeur particulière de /: mais si parmi ces valeurs il y en a d'égales, on pourra en faire abstraction et abaisser par là l'équation en / à un moindre degré; or c'est précisément ce qui a lieu dans le cas présent.

En effet, il est visible que la quantité z' demeurera toujours la même,

quelque permutation qu'on fasse entre les v racines x . x n ' . .r"-""1-",...: donc, puisque v choses admettent [.2.3. ..v permutations, il s'ensuil d'abord que les i .2.3. ..y. valeurs de / seront telles que chacune se trouvera répétée i.2.3...v fois; en sorte que parmi ces valeurs il ne pourra

\ en avoir- que " ' de différentes entre elles.

Considérons ensuite la quantité z", on prouvera de la même manière que chacune <lc ces dernières valeurs devra aussi se trouver répétée [.2.3...V fois, ce qui réduira le nombre des valeurs différentes de /

En continuant le même raisonnement a l'égard des autres quantités z , z'\.. , zn . on en conclura enfin que le nombre des valeurs différentes lit. îi

3ku SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

de / ne sera que — i-ii ii-Li— : de sorte que l'équation en / ne montera

qu au de are ,. — -h-

78. Cela posé, si l'on compare maintenant l'expression précédente de t avec celle du u° 69, on verra aisément qu'elle est susceptible de remarques semblables, relativement aux permutations des quantités z , z", z'",... entre elles; d'où Ton conclura :

i° Qu'en supposant ts égal à un nombre premier, l'équation en t ne renfermera que des puissances de t dont les exposants soient multiples de tz; de sorte qu'en taisant t™ = 0, on aura une équation en $ du degré

5j ( i . 2 . 3 . . . y )CT '

2° Que cette équation sera toujours décomposable en — — '-LL^-

^ » J I 57 — I)CJ( 1.2.3. ..V"

équations de la forme

Q«-l__TQ*-l+.\JQ*-3 xe° * + ... — o,

où les coetïicients T, U, . . . ne dépendront que d'une équation du degré

l s* — i ) rb ( i . 2 . 3 . . . y )m '

3° Que, si l'on désigne par 0', 0", 0"\... les nr — i racines de l'équation précédente, les quantités

seront les valeurs de ceux des coefficients k, h, g c, b qui occupent

dans cette série les places vième, ( 2 v )'""% ( 3 v fme, . . . j usqu'à la ( ;x — v ,'r""' inclusivement, ou, ce qui revient au même (à cause que le nombre de tous les coefficients a, b, c,..., k est (x), des coefficients qui occupent les mêmes places dans la série a, b, c,..., k;

4° Que, pour trouver les valeurs des coefficients T, U, X,..., on pourra se servir pareillement des méthodes des nos71 et 72, en ayant seulement attention de mettre partout l'exposant rr> à la place de l'exposant a;

5° Que, si 73 n'est pas un nombre premier, il faudra apporter aux conclusions précédentes des modifications relatives a la nature du nombre rs et qu'on trouvera aisément par des considérations semblables à celles qui ont fait l'objet du n° 75.

79. On voit donc, d'après ce qui précède, que, lorsque l'exposant p. de l'équation proposée est un nombre composé, les coefficients b, c, d,... ne peuvent pas être les racines d'une même équation, comme cela a lieu dans le cas où l'exposant a est un nombre premier, mais que ces coefficients dépendent alors d'équations différentes suivant que leurs places dans la série a, b, c, d,... sont marquées par des nombres dont les plus grandes mesures avec le nombre p. sont différentes.

Cependant il ne sera pas nécessaire de chercher et de résoudre toutes ces différentes équations; car les coefficients dont il s'agit dépendenl mutuellement les uns des autres, en sorte que dès que l'on aura trouvé la valeur d'un de ces coefficients on pourra en déduire aisément celles de tous les autres. En effet, si l'on suppose que l'on élimine y de l'équation [k) du n" 65 par le moyeu de l'équation y^ — i — • o, et qu'on compare ensuite l'équation résultante terme à terme avec la proposée, ou aura autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés a, b, c,..., par lesquelles on pourra déterminer chacun de ces coefficients : or, à l'exception du premier coefficient a qui se trouvera donne par une équation où il n'y aura poiul d'autres inconnues, tous les autres coefficients inconnus b, c,... se trouveront mêlés entre eux, de manière que par la méthode ordinaire d'élimination on pourra déterminer la valeur de chacune de ces inconnues par une autre quelconque d'entre elles; sur quoi on fera des remarques semblables ii celles du n° 58.

80. .M. Bezout, dans le dessein de simplifier et de faciliter l'usage de sa méthode lorsque l'exposant de l'équation proposée est un nombre

composé, a donne une seconde méthode qui parait en quelque manière plus générale que la première, mais qui revient cependant à la même

dans le fond, comme nous Talions faire voir.

Suivant celle méthode, si l'exposant u de l'équation proposée est re-

présenté par le produit vzs des deux nombres v cl sr, on prendra deux équations de cotte forme

xv — {a -+- by -\r cy- -+- dy + ...-+- kya~' , x'~' -+- ( a' + b'y H- c'y2 + rf'j3 + . . . -f- k'y*—* ) xv~7

(0 j — ( a" -t- //' >■ -i- c" y2 -+- d"y3 + • • • -+- h "rn 1 i •s"-'1

± [af''-"+ 6(»-0j+ C(v-l)jJ, rf(v-l)^.3 + - + /,(v--i; ,.r, , . 0>

Et éliminant y on aura une équation final»' en x du degré vc qu'on comparera terme à terme avec la proposée; ce qui donnera vts équations particulières entre les coefficients a, b,c,..., a', //, c',..., dont le nombre est aussi vro; de sorte qu'on pourra par là déterminer chacun de ces coefficients.

Or, comme l'équation y™ —1 = 0 donne rs valeurs de y, on aura, par la substitution successive de ces valeurs, autant d'équations .en x-, chacune du degré v; d'où l'on tirera u.v valeurs de x, qui seront les racines de l'équation proposée.

Il est clair, par la théorie de l'élimination exposée dans le n" 13, que l'équation résultante de l'élimination de y dans les deux équations cidessus ne sera autre chose que le produit de toutes les équations [l] que l'on aurait en y mettant à la place de y les ts racines de l'équation y~' — 1 =0; d'où l'on voit que l'esprit de cette méthode consiste à décomposer l'équation proposée du degré vzs en zs équations, chacune du vieme (jPg,.('.f et cela moyennant une équation du degré rs, de la forme y™ — 1=0.

Toute la difficulté consiste dans la détermination des coefficients inconnus a, b, c,..., a', b' , c',...; c'est pourquoi il est bon de rechercher à priori quelle doit être la nature des équations par lesquelles ces quantités doivent se déterminer.

81. Supposons donc que l'équation proposée du degré (x = vw, et

DES EQUATIONS. 349

dont les racines sont x\ x", x'",..., soit le produit de rs équations telles que

x' — z' -r*-1 -+- u' xw~2 — v' X'"3 -f- . . . = O, x' — z'' x—' -+- u" x"~* — v" x*-3 -+- . . . ■ - . o,

X' — Z1" X''~l -+- II'" X'~2 — V'"xv~3-h. . .= O,

x' — z^ix''-1 -+- u^x''-2 — i/(n)^7v-3 + . . . o;

il faudra que chacune de ces équations renferme v racines de la proposée:

de sorte qu'en partageant la totalité des u. racines a?', x", ce'", r1' en

73 systèmes de v racines chacun, et tels par exemple que

x", a?("+»), x^+V, . . . , ard»-"-"),

.r'", x<u+3\ x<~-"+v , . . . , ard* "■+-*),

on aura par la nature des équations z' égal à la somme. //' égal a la

som des produits deux à deux, v' égal à la somme des produits trois à

trois, etc., des racines .r', .r ° ' ' . x 2n'h, x 1H-ri+,); de même on aura

: égal ii la somme, u" égal à la somme des produits deux à i\c\\\, e" égal ;i la somme des produits trois à trois, etc.. des racines.»'. x ~ ' - . x 2rT - ,..., a?"*-61-'-2 , et ainsi de suite.

Or, si l'on désigne par i, w, f, •} , . . . les w racines de l'équation vCT — i = o, on aura (numéro précèdent

a + ft + c+rf-f-... + À z',

a-\-l",i ■ cou • (/m1 -i- . . . -f- /iv.j" ' z".

et de même

a' -h b'(,)-h c'rf-h d'',,3-*r . . .-+- h ''.r u",

al h- b'y ■ - d'<ç* H- . . . -f- fr/9"-' u .

et ainsi de SUlte.

Donc, puisque par la nature de l'équation ym — i = o qui manque de tous les termes intermédiaires on a

on pourra déterminer les valeurs des quantités a, b,c,...,k, a', b , c ',..., k\

a", b", c", . , . , k",... par une méthode semblable à celle du n" 67: et il viendra

usa - z' 4- z" 4- z'" -+- . . . — z< > . çjb = z' 4- m"-1 z" 4- o171'1 2'" -+-..., roc = z' 4- af-tz" 4- œ*-V" 4-. - . ,

ensuite

E5«' = tt' H- U" 4- «'" 4- ... — U n ,

ro&' = u' 4- w"-' m" 4- cpn-' «'" -r • ,

-2 ,," 1 mi— S „"' ■

CTC = M 4- vr~'U

et ainsi de suite.

82. Examinons les valeurs des quantités a, b, c,..., k, et il est d'abord

clair que la valeur de zsa sera égale à la somme de toutes les racines x ' ,

x", x'",..., opM; de sorte que l'on aura rza = — m; et par conséquent

ni a ==

ro

Ensuite, si l'on met w2, w3,... à la place de 9, tj/,..., en sorte que les racines de l'équation y° — 1 = o soient représentées par 1, w, '^2. w3...., ojct "' (24), on aura

ro/< = 2' -h 0)2" 4- o)V"4- u3z,v 4- ... — «"-'zC1),

et pour avoir les valeurs des quantités rsh, rsg,... il n'y aura qu'à changer successivement, dans cette expression, la racine u en «-. oj3, — Or l'expression précédente de rsk est la même que celle de la quan-

tité a v ou / du n° 76; par conséquent celles de rzh, rsg,... seront aussi les mêmes que celles des quantités a(2v), a(3v),... du même numéro; d'où il est facile de conclure que les coefficients a, b, c, d,... de l'équation (7) du n° 80, étant multipliés par rs, seront respectivement égaux à ceux des coefficients a, b, c,.. de l'équation (k) du n° 65, qui occuperont dans la série a, b, c,..., les places marquées par les nombres i, v, 2v, 3v,..., \). — v, chacun (le ces coefficients étant multiplié par \)..

Ainsi l'on pourra appliquer sur-le-champ aux coefficients «, b, c,... de la formule ci-dessus les mêmes conclusions des n"s 76 et suivants.

83. Quant aux autres coefficients à , b', c',..., a ", b", c", ... de la même formule (/) on pourra, si l'on veut, les faire dépendre des précédents, ou simplement d'un quelconque d'entre eux, par des considérations semblables à celles du n° 79; on peut aussi déterminer à priori, d'après les formules du n" 81 , le degré et la forme de l'équation d'où chacun de ces coefficients doit dépendre immédiatement.

Pour cet effet il suffira de remarquer que les quantités u, w", u'",.v sont analogues aux quantités correspondantes z', z", z",... en ce que ces quantités sont des fonctions des mêmes racines, lesquelles ont la propriété de demeurer les mêmes, quelques permutations qu'on fasse entre ces racines; il en est de même des quantités v', v" , v'",...; d'où il s'ensuit que l'on pourra appliquer aux coefficients //, c', d',..., b", c", d,... des raisonnements et des conclusions semblables à celles qui ont lieu pour les coefficients b, c, d

Mais à l'égard des coefficients a', a ,... il faudra les considérer il part, el après avoir prouvé par des raisonnements analogues à ceux du n" 77

que chacune de ces quantités ne pourra avoir que "'.,'" '-'- valeurs

différentes, on remarquera que ces quantités ne souffranl aucun changement par les permutations des quantités //', u", //'",..., // ° . ou v', c , i c ° , ou, etc., entre elles, il faudra encore diviser le nombre

' par 1.2.3... W pour avoir celui des valeurs di lièrent es de eha-

eun des coefficients a', a",...; d'où il s'ensuit que chacun de ces mêmes

coefficients devra être déterminé par une équation particulière <lu degré

84. Supposons que l'équation proposée soit d'un degré pair, et prenons zs = 2, en sorte que l'on ait p. = 2v; dans ce cas l'équation y73 — i = o deviendra

laquelle donne les deux racines

y = i et y = — i :

et il faudra, suivant la méthode précédente, que l'équation proposée

x2'' -+- mx'-'~{ -+- nx2'""2 -+- px2'~* -t- . . . = o

soit formée du produit de ces deux-ci

x'' — {a -+- b ) x'- ' -+- a' + b' ) x''"2 — ( a" -- b" \ x'-* -+- . . . = ot x*—{a — b)x'-' -h {a'— b' ) x"-2 — [a" — V x- 3 + . . . = o.

Ainsi l'on aura

et 6=-

z' = x' -+- x'" -+- xs + . . . — * "-'?,

z' - .r"~f .rlv + .r1 ' -+-. . . -+- x -'".

Et l'on trouvera que l'équation en 6 sera du degré

,5 c est-a-dire

avec tous les exposants pairs.

Donc, si l'on suppose que l'équation proposée ait un diviseur du délire v et tel que

X'' -f- in'x^' -t- ?l'x'~- -t- p'x' ' -| . . = O,

on trouver;) pour m' une équation du degré

ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs, puisque ee nombre exprime celui des combinaisons de iv choses prises vàv. Et comme en faisant

- m = a -f- b = hft

on doit avoir une équation en b qui n'ait que des puissances paires, il s'ensuit que l'équation en m' sera telle que, si l'on y fait disparaître le second terme, tous les termes alternatifs disparaîtront en même temps, comme nous l'avons vu par rapport aux équations du quatrième degré f35).

85. Si l'équation proposée est du sixième degré, en sorte que v = 3, et qu'on fasse \b2 = 0, on aura une équation en 0 du degré

M. Bezout pense que cette équation pourra se décomposer en deux équations, au moyen d'une équation du second degré : c'est de quoi je doute fort; en effet, les racines de l'équation en 0 seront représentées par ces dix quantités, lesquelles renferment toutes les valeurs de (V z")a qui peuvent résulter des permutations entre les six racines x', où", x *', ...

i i x's x'" - xy

x' ■+■ x" -f- .rv ' - x" — x%

x" xy' •

[x'-hx" > - x"

i -+-X1" — ,r" — x" lx' -+- x" ■ > x" — x"

Or, si l'on suppose que les deux facteurs de l'équation dont il s'agit soient représentés par

6'-~fBA -4- g 9*— hQ2 4- i6 — k = o,

il faudra que /soit égale à la somme de cinq des dix quantités précédentes, et que/' soit égale à la somme des cinq autres; et pour que les coefficients / et /' ne soient affectés que de radicaux du second degré, il faudra que ces deux coefficients soient les racines d'une équation du second degré telle que

M et N étant des fonctions rationnelles des coefficients m, n, />,... de l'équation proposée; on aura donc

M=f + f et N-//';

de sorte que tant la somme que le produit des deux quantités /et /' devront être des fonctions rationnelles de m, n,p,... et par conséquent des fonctions des racines a/, x", x" ',... telles, qu'elles ne changent point de valeur, quelque permutation qu'on fasse entre ces racines; or cette condition a bien lieu à l'égard de la somme /-h/'» qui est égale a la somme de toutes les dix quantités ci-dessus; mais il n'en est pas de même à l'égard du produit //'; car on peut s'assurer facilement que, de quelque manière qu'on partage la somme des dix racines précédentes en deux sommes partielles de cinq racines chacune, le produit de ces deux sommes partielles n'aura jamais la propriété de demeurer invariable dans toutes les permutations qu'on pourra faire des racines x', x", x'",... entre elles.

On pourrait dire qu'il ne serait peut-être pas nécessaire que les deux quantités /et /' fussent les racines d'une même équation du second degré, et que l'une de ces quantités pourrait dépendre d'une équation et l'autre d'une autre; mais pour détruire cette exception il suffit de considérer que, supposant /déterminée par une équation du second degré

telle que

les deux racines de cette équation seront nécessairement égales chacune à la somme de cinq quelconques des dix quantités précédentes; et il faudra que ces deux sommes ajoutées ensemble produisent une quantité M qui ait la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu'on lasse entre les racines oc', x", oc"',.. ; ce qui ne saurait avoir lieu à moins que les deux sommes dont nous parlons ne renferment toutes les dix quantités en question; par conséquent, l'une étant la somme de cinq de ces quantités, l'autre devra être nécessairement celle des cinq autres.