SECTION QUATRIÈME

CONCLUSION DES RÉFLEXIONS PRÉCÉDENTES, AVEC QUELQUES REMARQUES GÉNÉ- RALES SUR LA TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. ET SI 11 LEUR RÉDUCTION OC ABAISSEMENT A IN MOINDRE DEGRÉ.

8(5. On a dû voir par l'analyse que mois venons de donner des principales méthodes connues pour la résolution des équations, que ces méthodes se réduisent toutes à un même principe général, savoir à trouver des fonctions des racines de l'équation proposée, lesquelles soient telles : r" que l'équation ou les équations par lesquelles elles seront données, c'est-à-dire dont elles seront les racines (équations qu'on nomme communément les réduites ), se trouvent d'un degré moindre que celui de la proposée, on soient an moins décomposahles en d'autres équations d'un degré moindre (pie celui-là; 2° que l'on puisse en déduire aisément les Valeurs des racines cherchées.

I.'art de résoudre les équations consiste donc à découvrir des fonctions des racines, qui aient les propriétés que nous venons d'énoncer; mais est-il toujours possible de trouver de telles fonctions, pour les équations

d'un degré quelconque, c'est-à-dire pour tel nombre de racines qu'on

voudra? (.'est sur quoi il parait très-difficile de pouvoir prononcer en général.

35<i SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE

A l'égard des ('■((nations qui ne passent pas le quatrième degré, les fonctions les plus simples qoi donnent leur résolution peuvent être représentées par la formule générale

x' ■+■ yx" -+- y^x"' + . . . + y*-' xM,

x', x", x'" ',..., xw étant les racines de l'équation proposée, qu'on suppose être du degré \x, et jetant une racine quelconque autre que l'unité de l'équation

y* — i = o, c'est-à-dire une racine quelconque de l'équation

yV—\ | jH~2 j yV-3 ) # # | , __ Qj

comme il résulte de tout ce qu'on a exposé dans les deux premières Sections, touchant la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

Quant à celle des équations du second degré dont nous avons jusqu'à présent fait abstraction, il est visible qu'elle se rapporte aussi au même principe; car en faisant a = 2, on aura la fonction x'-hyœ"; et l'équation y -1- 1 = o donnant/ = — 1, cette fonction deviendra x' — x", c'està-dire la différence des deux racines; or l'art de résoudre les équations du second degré consiste uniquement à faire évanouir le second terme pour avoir une réduite qui, ne contenant que le carré de l'inconnue, soit résoluble par la simple extraction de la racine carrée; et comme l'évanouissement du second terme dans une équation quelconque exige qu'on diminue les racines du coefficient de ce terme pris avec un signe contraire, et divisé par l'exposant du degré de l'équation, c'est-à-dire de la somme de toutes les racines divisée par le nombre de ces racines, il s'ensuit que la réduite du second degré aura pour racines les différences entre les racines de la proposée, divisées par 2, ou bien ces différences mêmes, en supposant qu'on augmente les racines de la réduite dans la raison de 1 à 2, ce qui ne change rien à la nature de cette équation.

Il semble donc qu'on pourrait conclure de là par induction que toute

équation, de quelque degré qu'elle soil, sera aussi résoluble à l'aide d'il ne réduite dont les racines soient représentées par la même formule

x' -+- yx" ■+- y2x'" -f- y3x'* -h . . . .

Mais, d'après ee que nous avons démontré dans la Section précédente à l'occasion des méthodes de MM. Euler et Bezout, lesquelles conduisent directement à de pareilles réduites, on a, ce semble, lieu de se convaincre d'avance que cette conclusion se trouvera en défaut dès le cin-" quième degré; d'où il s'ensuit que, si la résolution algébrique des équations des degrés supérieurs au quatrième n'est pas impossible, elle doit dépendre de quelques fonctions des racines, différentes de la précédente.

87. Comme jusqu'ici nous n'avons fait que chercher ces sortes de fonctions à posteriori cl d'après les méthodes connues pour la résolution des équations, il est nécessaire de faire voir maintenant comment il faudrait s'y prendre pour les trouver àprioriei sans supposer d'autres principes que ceux qui suivent immédiatement de la nature même des équations s c'est l'objet que je me propose principalement dans cette Section.

.le donnerai «l'abord des règles directes cl générales pour déterminer le degré et la nature de l'équation d'oii une fonction quelconque proposée des racines d'une équation de degré donne devra dépendre; quoique cette matière ;ùl déjà ele traitée par d'habiles Géomètres, je crois qu'elle peut l'être encore d'une manière plus directe cl plus générale, surtout dans le point de vue où nous l'envisageons ici, relativement à la résolution générale des équations.

Je ferai voir ensuite quelles sont les conditions nécessaires pour (pie l'équation dont il s'agit puisse admettre la résolution en supposant uniquement celle des équations des degrés inférieurs à celui de l'équation proposée; et je donnerai ;i celle occasion les vrais principes cl, pour ainsi dire, la métaphysique île la résolution des équations du troisième cl du quatrième degré.

Je traiterai enfin en peu de mois de la réduction des équations qui

peuvent se décomposer en d'autres plus simples à cause de quelque rela-

lion particulière qu'il y a entre leurs racines, et je montrerai par quelques exemples comment on peut découvrir ces relations, et abaisser par là les équations proposées à des degrés moindres.

88. Nous ne considérerons ici que des fonctions rationnelles, et nous désignerons ces fonctions en général par la caractéristique/.

Ainsi /[[&)] signifiera une fonction quelconque rationnelle de x; f[(&){y)] signifiera une fonction quelconque rationnelle de x et y; f\(x) (y) (z)], une fonction quelconque rationnelle de x, y, z, et ainsi des autres.

Si dans une fonction donnée /[(xj (y)] on a y = x, en sorte qu'il en résulte une simple fonction de x, au lieu de dénoter cette fonction par f\(x)(x)], nous la désignerons pour plus de simplicité par /[(a?)8]; pareillement, si dans la fonction donnée/[(,r) (y) (z)] on faïty = x, on dénotera la fonction résultante de x et s par /[(a?)2 (s)], et, si l'on fait en même temps x=y = z, on aura une simple fonction de x qu'on désignera par/[(a?)3], et ainsi des autres.

De plus, lorsqu'on voudra représenter une fonction de x et y, par exemple, telle qu'elle demeure la même en échangeant x en y, c'est-àdire une fonction f[{x) (y)] telle, que l'on ait/Lr(a?) (y)] —f[[y) (x)], nous la désignerons simplement par f[{x, y)]. De même on désignera \ràvf[(x,y, z)] toute fonction de x, y etz telle, qu'elle ne change point en échangeant les quantités x, y, z entre elles d'une manière quelconque. Ainsi f[{œ,y) (z)] dénotera une fonction rationnelle de x, y, z telle, qu'elle demeure la même en échangeant x en y sans toucher à la quantité z, et ainsi de suite.

Mais si l'on avait une fonction de x, y, z et u telle, qu'elle demeurât la

même en échangeant à la fois x en z et y en u, on la dénoterait par

f[{x) (y), (z) (u)} ; et si cette fonction demeurait aussi la même en

échangeant simplement x en y, ou s en u, on la désignerait alors par

Enfin, si l'on a plusieurs fonctions des mêmes quantités, on appellera fonctions semblables celles qui varient en même temps on demeurent les

mêmes lorsqu'on y fait les mêmes permutations entre les quantités dont elles sont composées, de manière qu'elles puissent être désignées d'une manière analogue. Ainsi prenant les caractéristiques /et <p pour désigner des fonctions différentes, les fonctions f[{x) (y)] et <p\{x)(y)] seront semblables, ainsi que les fonctions /[(#, y)], f \(x, y)], et ainsi des autres.

89. Nous supposerons, comme dans la Section précédente, que l'équation proposée soit représentée généralement par

x'~x -+- mxk~K -+- nxil~2 -+- px'x~3 -+- . . . = o,

et que ses racines, qui doivent être au nombre de p., soient désignées para/, x", x'", x",..., x(v-].

Ainsi l'on aura, par la nature des équations,

il = x'x" + x'x'" -h x" x'" -i- .r'.r,v H x"x's -hx"'x" ■+- . . . ,

Et il est clair que ces fonctions de a?', x", x'", xl\..., par lesquelles sont exprimées les quantités m, n, /?,..., seront nécessairement toutes de la forme/[(a?', x", x'", xlv, ...)], el que par conséquent ces fonctions seront toutes semblables, ce qui est une propriété fondamentale des équations.

90. Cela pose, pour commencer par les cas les plus simples, supposons que l'équation proposée ne soit que du second degré, et qu'on demande l'équation par laquelle devra être déterminée la fonction

Je fais t —f[(x'){x")\ en sorte que t soit l'inconnue de l'équation cherchée, et comme x' et x" sont déterminées l'une et l'autre par la

même équation

je mets, pour plus de généralité, x a la place de x' el y a la place de i

j'aurai ainsi l'équation

d'où il s'agira de chassera; et y par le moyen des deux équations

x'~ -+- mx ■+- n = o,

jT2 + my ■+- n = o.

Soi!

on chassera d'abord # de l'équation X = o par le moyen de l'équation ,r2 + /na; + K = o, ce qui donnera une équation que je désignerai par Y = o, et dans laquelle Y sera une fonction rationnelle des quantités /, m, n et y. On chassera ensuite y de cette dernière équation par le moyen de l'autre équation y2 -f- my + n = o, et l'on aura l'équation finale T = o, où T sera une fonction rationnelle de t, met/*.

Je remarque maintenant que puisque les racines de l'équation

x2 -+- mx -+- n = o

sont x' et ce", si l'on désigne par X' et X" les valeurs de X qui viennent de la substitution de ces racines à la place de x, on aura ( par ce qui a été démontré dans le n° 13 de la Section Iy

Et de même, à cause que x' et x" sont aussi les racines de l'équation y'1 -t- my-+- 71 — o, si l'on désigne par Y' et Y" les valeurs de Y qui résulteront de la substitution de x' et x" à la place de y, on aura

Or on a

donc et de là

Y=[t-fl(x>)(;r)]]x[t-f[(x" {y)]],

Y' = [t-fiix<)(x')]]><[t-f[(x''.i.r' ], T'=[t-f[(x'){x")]]x[t-f[(x") x" |,

donc on aura

Or, si l'on considère la fonction/[(a?)2] et qu'on tasse t — /[(a?)2] = £; qu'on élimine ensuite x de l'équation £ = o, par le moyen de l'équation .r2 -I- ra,r -h n = o , on aura l'équation 6 = 0, où $ sera une fonction rationnelle de t et de m, n. Et désignant par 5' et |" les valeurs de | qui résultent de la substitution de se', x" à la place de x, on aura

Mais on a

donc

Faisons

el l'on aura T = 00, et par conséquent 0= r ; de sorte que, comme T

et 5 sont des fonctions rationnelles de /, m et //, il est clair que (-) sera aussi une fonction rationnelle de /, m, n.

Ainsi l'équation T = o pourra se décomposer en ces deux-ci S = 0 et 0 = o; et comme la première est celle qui donne la valeur de /[(a?)2 J, il s'ensuit que la détermination de la fonction proposée f\ [x' [x") dépendra uniquemenl de l'autre équation 0 = o.

Donc, pour trouver cette équation 0 = o qui résout le Problème, il n'y aura qu'à éliminer tics équations

les inconnues x et y par le moyen des équations

x* -t- mx -+- n o,

) un 11 0,

362 SUK LA RESOLUTION ALGLKKIQUE

et désignant par T = o et ô = o les équations résultantes on aura sur-le-

champ (-) = —

91 . On voit par l'expression de 0 que l'équation 0 = o, qui doit servir à déterminer la valeur de la fonction f[{oc') {x")\, est du second degré, et que ses deux racines sont f[(x') {oc")] et f[(x") (x' )]. En effet, comme les racines x et x" sont déterminées de la même manière par l'équation x2 -\- mx -\- n = o, il est clair que les deux fonctions ./[(a?') [x")) etf[{x") (x')\, qui ne diffèrent entre elles que par l'échange mutuel des racines a?', x", devront être aussi déterminées par une même équation.

Si la fonction /[{x') {x")] était de la forme/[(#', x")], en sorte que

l'on eût (88 j

alors on aurait

par conséquent l'équation 0 = o deviendra simplement

d'où l'on voit que la fonction dont il s'agit sera déterminée dans ce cas par une équation linéaire; par conséquent elle sera donnée par une expression rationnelle en m et n.

92. Qu'on demande maintenant l'équation par laquelle devra être déterminée la fonction f[{x') {x") (x'")\, en supposant que x', x", se'" soient les racines de l'équation du troisième degré

x3 + mx' -+- nx -4- y? = o .

Prenant, comme ci-dessus, t pour l'inconnue de cette équation, el mettant x, y, z à la place de x', x", x'", j'aurai l'équation

d'où il s'agira d'éliminer successivement x, y, z par le moyen des trois

équations

x3 -+- mx2 + nx + p = o,

y'6 -+- my2 -\- ny -+- p = o,

z3 -+- mz2 -t- «z -t- p = o.

Soit

qu'on élimine d'abord de l'équation X = o la quantité x par le moyen de l'équation en x, on aura une seconde équation que je désignerai par Y=o, et où Y sera une fonction rationnelle de t, y, z, et des coefficients m, n, p. Qu'on élimine ensuite y de l'équation Y = o par le moyen de l'équation en y, on aura une troisième équation, que je désignerai par Z = o, et où Z sera une fonction rationnelle de t, z et des coefficients m, w, p. Qu'on élimine enfin de cette équation Z = o la quantité z, par le moyen de l'équation en z, on aura une équation finale, qu'on pourra désigner par T = o, et où T sera une fonction rationnelle de /, m, /*, />.

Or, puisque les racines de l'équation en x sont;r', x", x "', si l'on désigne par Y, X", X'" les valeurs de X qui résultent des substitutions de ces racines à la place de x, on aura, par le n" 13,

De même, puisque les racines de l'équation en y sont aussi x', x", x"', si l'on dénote par V, Y", Y" les valeurs de Y qui résultent des substitutions

de ces racines à la place de, y, on aura par la même raison

Enfin, comme l'équation en z a aussi les mêmes racines x', x", x'", dénotant par Z', Z", Z" les valeurs de Z qui résultent de leurs substitutions à la place de z, on aura

Mais il est clair qu'on aura

Donc

De là on aura

Y"':= [*-/[(*')(#'")( s)]] X Donc

Donc

Donc enfin, si l'on multiplie

ces trois quantités ensemble, et qu'on fasse.

pour abréger,

@=[t~f[{x'){x")[x'")]]x X [t-f[(x')(x'")ix")}] X

t-f[ix'") {x"f]\ t-f[(x" X'" ']],

ou aura

Maintenant je remarque que, si l'on suppose

«-/[(*)»] = o, et qu'on élimine x par le moyen de l'équation en x,

xs -4- m.r2 -4- //.r ji = o,

on trouvera, comme dans le numéro précèdent, l'équation finale 0 = o, de sorte que S sera nécessairement une fonction rationnelle de / et des coefficients m, n, p.

On trouvera, par les mêmes principes, que si l'on l'ail

et qu'on élimine successivement x et v par le moyen îles deux équations

en X et en v, savoir

x' -+- m.rJ -+- n.) ji o,

on aura, pour équation finale, 00, = o, où la quantité 0 0, sera par conséquent une fonction rationnelle de /, m, n, p; et comme 0 en est une aussi, il s'ensuit que 0, sera de même une fonction rationnelle de / et de m, n, p.

Pareillement, si l'on fait

et qu'on élimine x et y par les mêmes équations, on trouvera cette équation finale 0 62 = o, dans laquelle la quantité 0 02 sera donc une fonction rationnelle de t, m, n, p\ de sorte que la quantité 02 en sera une aussi. Enfin, si l'on fait

et qu'on élimine de même x et y, on trouvera pour- équation finale 0 03 = o; de sorte que la quantité 0 63 sera une fonction rationnelle de t, m, n, p, et par conséquent la quantité 63 en sera aussi une.

Donc, puisque les quantités 6, 6,, 02, 63 sont chacune des fonctions rationnelles de t et des coefficients m, n, p, il s'ensuit que l'équation

T = o, savoir 06 0, &203 = o.

pourra se décomposer en celles-ci

6 — o, 0,-0, 62 = o, 63—0 et Q = o;

de sorte que la quantité 0 sera aussi une fonction rationnelle de/, m, n, p. Or il est facile de voir que les équations

sont toutes étrangères à la question proposée, c'est-à-dire a la détermination de la fonction f[{x') (x" ) (x'")] ; car ces équations, comme il parait par les expressions des quantités 6, 0,, 62, 63, ont pour racines des fonctions de x', x", x'" d'une forme différente de la proposée; ainsi il ne restera que l'équation 0 = o, qui renfermera par conséquent toutes les racines utiles à la solution du Problème.

93. Pour trouver donc cette équation 0 = o, il n'y aura qu'à éliminer des cinq équations

-/[(*)»] = <>, les inconnues a?, v, ; par le moyen des équations

y% + my2 -h ny +/) = o, z3 + mz2 -+- nz -h p = o ;

et, désignant les équations finales résultantes par

T = o, T, = o, ï2=o, T3--o, 9=zo, on aura

par conséquent

Te»

ITT

Cette méthode au reste serait extrêmement longue el pénible dans la pratique, et elle le deviendrait de plus en plus, a mesure que l'équation proposée serait d'un degré plus haut; aussi ne l'ai-je donnée ici que parce qu'elle sert à faire connaître, d'une manière directe et indépendante de toute considération étrangère, la nature de l'équation cherchée 0= o.

94. En effet il esl visible, par l'expression de © donner ci-dessus '92;. que la réduite (-) o sera à\\ sixième degré, ayant pour racines les fonctions

lesquelles sont toutes semblables, et dérivenl l'une de l'autre par de

simples permutations entre les quantités x', x", x"\ il est clair en effel que, comme ces quantités sont toutes déterminées de la même manière

par l'équation

x3 -4- mx* -+- nx -+-,p = o,

dont elles sont les racines, l'équation qui donnera la valeur d'une fonction quelconque des mêmes quantités devra donner également les autres fonctions qui viendront de toutes les permutations possibles entre elles. Cette proposition parait même assez évidente par elle-même pour n'avoir pas besoin de démonstration; mais on ne voit pas aussi évidemment, ce me semble, que l'équation dont il s'agit ne devra contenir d'autres racines que les différentes fonctions qui viendront des permutations entre les racines de la proposée; c'est-à-dire qu'en supposant cette équation formée du produit des facteurs simples

chacun des coefficients pourra toujours s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficients m, «,... de l'équation proposée; or c'est sur quoi notre démonstration ne laisse aucun doute, puisque l'on a vu que la quantité 0, qui est égale à ce produit, est toujours nécessairement une fonction rationnelle de /, m, n, —

95. Si l'équation proposée était d'un degré plus haut, en sorte qu'elle eût quatre ou un plus grand nombre de racines x ■'■, x", x'", xlv,..., on pourrait trouver de même l'équation 0 = o, qui servirait à déterminer la fonction/ [(x') (x") (x'") (xlv)...] ; et l'on verrait que la quantité 0 serait le produit d'autant de facteurs simples tels que

t-f[{x'){x"){x'"){x")...}, t—f[{x"){x'){xm){xt" ...},

qu'il y a de permutations possibles entre les racines x', x", x'", x",...; de sorte que, si l'équation proposée est du degré u., le nombre des fac-

leurs simples de la quantité 0, et par conséquent le nombre des racines de l'équation 0 = o sera marqué par 1.2. 3. ..a, puisque ce nombre est celui de toutes les permutations dont a choses sont susceptibles; et les racines de celte équation seront les différentes fonctions dans lesquelles la fonction proposée /[f,r'j (x") (x'")...] pourra se changer parles permutations des racines x ', x", x'",... entre elles.

96. Or, pour trouver toutes ces différentes fonctions par ordre el sans en omettre aucune, on échangera d'abord, dans la fonction proposée, x" en x' et vice versa; on aura ainsi deux fonctions; ensuite on échangera successivement dans ces deux-ci x'" en x', en x", et l'on aura six fonctions; puis dans ces six on échangera successivement xlv en x', en x", en x'" et l'on aura vingt-quatre fonctions, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ail épuisé toutes les racines a;', x", x"\

D'où l'on voil clairement que le nombre des fonctions différentes doit croître suivant les produits des nombres naturels

1, 1.2, 1.2.3, 1.2.3.4, ■••' 1 .2.3.4.5. . .ju.

Ayant toutes ces fonctions on aura donc les racines de l'équation 0 = 0; de sorte que, si on la représente par

r — Mr ' + Nr!- Pr-3 + . . . o,

on aura -n = 1 . 2. 3. \. . . a; et le coefficient .M sera égal a la somme de toutes les fonctions trouvées, le coefficient N égal à la somme de tous les produits de ces fondions multipliées (\r\\\ à (\vu\, le coefficient P égal a la somme de Ions les produits des mêmes fonctions multipliées trois a trois, el ainsi de suite.

Kl comme nous avons démontré ci-dessus que l'expression de 0 doit être nécessairement une fonction rationnelle de / et des coefficients ///.

//,/;,... de l'équation proposée, il s'ensuit que les quantités M, \. P

seront nécessairement des fonctions rationnelles de m. n . /> qu'on

pourra trouver directement, comme nous l'avons pratiqué dans les Sections précédentes. Voyez là-dessus, outre l'Ouvrage île M. Cramer que nous avons déjà cité, encore celui de M. Waring, qui a pour titre Medi~

tationes algebraïcœ , Ouvrage rempli d'excellentes recherches sur les équations.

97. Quoique l'équation 0 = o doive être, eu général, du degré i . 2. 3 . . . p. = zs, qui est égal au nombre des permutations dont les u. racines x ', x", x'",... sont susceptibles, cependant s'il arrive que la fonction soit telle, qu'elle ne reçoive aucun changement par quelqu'une ou quelques-unes de ces permutations, alors l'équation dont il s'agit s'abaissera nécessairement à un degré moindre.

Car supposons, par exemple, que la fonction/[(a?') {x") [x"') f;rIvj...j soit telle, qu'elle conserve la même valeur en échangeant x' en x", x" en x'", et x'" en x', en sorte que l'on ait

il est clair que l'équation 0 = o aura déjà deux racines égales; mais je vais prouver que dans cette hypothèse toutes les autres racines seront aussi égales deux à deux. En effet, considérons une racine quelconque de la même équation, laquelle soit représentée par la fonction

comme celle-ci dérive de la fonction

en échangeant x' en xlv, x" en x'", x'" en x', x" en x", il s'ensuit qu'elle devra garder aussi la même valeur en y changeant xlv en x'\ .r" en x' et x en rIV; de sorte qu'on aura aussi

f\[X" ) [x'") (x' ) (x"). . .] =f [{x'") x') xxy) [x"). . .].

Donc, dans ce cas, la quantité 0 sera égale à un carré j-, et par conséquent l'équation 0 = o se réduira à celle-ci 5 = o, dont la dimension

sera — •

On démontrera de la même manière que, si la fonction

est de sa propre nature telle, qu'elle conserve la même valeur en faisant deux, ou trois, ou un plus grand nombre de permutations différentes entre les racines x' , x" , x" ', xlv,..., les racines de l'équation 0 = o seront égales trois à trois, ou quatre à quatre, ou, etc.; en sorte que la quantité© sera égale à un cube 03 , ou à un carré-carré 5*, ou, etc., et que par conséquent l'équation 0 — o se réduira à celle-ci 6 = o, dont le degré sera

égal à -^î ou égal à -p ou, etc.

98. Donc, si la fonction proposée est de la forme /[ x', x") xT x" ...]

qui a la propriété de demeurer la même en échangeant x' en x" : 88 . toutes les racines de l'équation 0 = o seront égales deux a deux; de

sorte que cette équation s'abaissera au degré — -■

De même la fonction

devant demeurer la même, quelque permutation qu'on \ fasse entre les trois racines r , x ", x , il s'ensuit que l'équation 0 = o aura toutes ses racines égales [.2.3 à 1.2.3; de sorte qu'elle s'abaissera au degré

Kt la fonction

f[{x', x" Xm, x" .rv ....

qui doit demeurer la même, quelque permutation qu'on fasse entre les deux racines x', x", ainsi qu'entre les deux .r", a?,v, donnera une équation 8 = 0 où les racines seront tontes égales r.2 [.2 à i . ). - 1.2;

• le sorte qu'elle s'abaissera au degré '— '- ' ' '• En général, la Fonction

donnera un< équation 9 <>, où la quantité 0 sera une puissance qui

aura pour exposant le nombre i.2.3...axi.2.3...j3x 1.2. 3..., de manière

nue celle équation s abaissera au degré —5 — — „ &— — =-

On voit par là que toute fonction de la forme

flix',x",x",...,x^' J,

qui aura la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu'on lasse entre les racines x , x", x'",..., xw de l'équation proposée, devra

dépendre seulement d'une équation du degré — -, V "^ = ' > c'est-à-dire

t\u premier degré; de sorte qu'elle devra être déterminable algébriquement et rationnellement par les coefficients m, n, p,... de la proposée; théorème que nous avons déjà supposé dans les Sections précédentes comme évident par soi-même, mais dont la démonstration rigoureuse dépend des principes établis ci-dessus.

On peut aussi conclure de ce qui précède que, si l'on a une fonction quelconque qui ne contienne qu'un nombre X des y. racines x', x", x'",..., en sorte qu'elle soit représentée par

f[(x')(x")(x'")...ixO-)]],

elle conduira simplement à une équation du deffré - • 2 • • 4 • • • y- car 1 n D 1.2.3. ..(fi — A

il est clair qu'on peut regarder la fonction proposée comme étant de la

forme

f[(x')(x")(x'"). .. (*M) («P*»), *(*«>, ... , XM },

en supposant, ce qui est permis, que les racines x(l+'}, x{}+2), r "

y soient multipliées par des coefficients égaux à zéro ou élevées à des exposants égaux à zéro.

Donc la fonction

/[ x\ x" x'", x", x\ . . . , xO ]