I.2.3...XXl.2.3...(jUt — ~k
Ainsi, si l'on voulait abaisser, en général, l'équation proposée i\u degré [j. à une équation d'un degré inférieur )., telle que
x" -+- ax
laquelle eût toutes ses racines communes avec la proposée, c'est-à-dire dont les racines fussent x', x", x'", . . . , x0), on tomberait nécessairement dans une équation du degré
•j. a -l)(fi-2).,.((i-i + l)
pour la détermination de chaque coefficient a, h, c, . . . ; car ces coefficients seraient nécessairement des fonctions de la forme
comme on l'a fait remarquer dans le n" 89. C'est aussi une proposition connue depuis longtemps, mais qu'on n'avait pas encore, ce me semble, démontrée en toute rigueur.
Or, comme en prenant X moindre que ;;. le nombre
ne peni jamais être plus petit que ;x, il s'ensuit que l'on ne peut rien se promettre de ces sortes de réductions pour la résolution générale des équations.
99. De tout ce tpie nous venons de démontrer il s'ensuit donc, en général : i" «pie toutes les fonctions semblables des racines.» , i ', r , . . . d'une même équation sonl nécessairement données par des équations du même degré; a° que ce degré sera toujours égal au nombre i.a.3.*..fx ■i «tant le degré de l'équation donnée . ou a nu sous-multiple de ce
3T'i SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
nombre; 3° que pour trouver directement l'équation la plus simple $ = <> par laquelle devra être déterminée une fonction quelconque donnée de x', x", x" ',..., il n'y aura qu'à chercher toutes les différentes valeurs que «•cite fonction peut recevoir par les permutations des quantités x', x",
x entre elles, et, prenant ces valeurs pour les racines de l'équation
cherchée, on déterminera par leur moyen les coetïicients de cette équation suivant les méthodes connues et employées déjà plusieurs fois dans ce .Mémoire.
100. Or, dès qu'on aura trouve, soit par la résolution de l'équation 0 — o ou autrement, la valeur d'une fonction donnée des racines x', x", x'", . . . , je dis qu'on pourra trouver aussi la valeur d'une autre fonction quelconque des mêmes racines, et cela, généralement parlant, par le moyen d'une équation simplement linéaire, a l'exception de quelques cas particuliers qui exigent une équation du second degré, ou du troisième, etc. Ce Problème me parait un des plus importants de la théorie des équations, et la Solution générale que nous allons en donner servira à jeter un nouveau jour sur cette partie de l'Algèbre.
Nous commencerons par supposer, pour plus de simplicité, que les deux fonctions proposées, dont les valeurs sont l'une connue et l'autre inconnue, soient semblables, suivant la définition que nous avons donnée île ce terme dans le n° 88, et nous désignerons, en général, par t la première de ces deux fonctions et par y la seconde; nous désignerons de plus par /', t", t"\ . . . , t m les différentes valeurs de t qui proviennent de toutes les permutations possibles entre les racines x', x ", x", . . . , et pareillement par y', y", v" , . . . , v n les différentes valeurs de la fonction y provenantes des mêmes permutations: car, les deux fonctions t et v étant supposées semblables, il s'ensuit que le nombre des valeurs différentes dont elles seront susceptibles par toutes les permutations possibles entre x', x", x'",... sera le même pour l'une et pour l'autre, et que ces valeurs seront dues aux mêmes permutations dans les deux fonctions.
Ainsi les quantités /', / , /,..., tm seront les racines de l'équation en t, qui sera par conséquent du degré », et les quantités y', y", y . . . . ,
y™ seront pareillement les racines de l'équation en y, laquelle sein du même degré rs. On pourra donc trouver ces équations en t et en v par les méthodes exposées plus haut; mais nous n'aurons besoin que d'avoir l'équation en /, que nous représenterons, en général, par
i -t- M + Bf2 + Cfs + . . .-, K/H o,
ou plus simplement par 0 = o, en supposant
où les coefficients A, B, C,... seront des fonctions connues des coefficients/72, n, p, . . . de l'équation proposée en x dont les racines sont x ,
Cela posé, qu'on considère en général la fonction /' y, il est visible que les différentes valeurs de celle fonction résultantes de toutes les permutations possibles entre les racines ,r', x", x .... seront t" y ', t"'y", l'"yy'" ,..., t'™)'-y"™); de sorte qu'en prenant la somme de toutes ces valeurs on aura la fonction
laquelle aura la propriété de demeurer invariable, quelque permutation
qu'on y fasse entre les racines .r, x", x'" et par conséquent pourra
s'exprimer algébriquement el rationnellement parles coefficients m, //, p,... 08 .
Qu'on cherche donc les valeurs de celle fonction pour les exposants À ^ o, i , 2, 3, . . . , tar — i, et qu'on les dénote par les quantités M. M, . Mj, M., M a , . on aura les u équations suivantes
où les termes M, M,, M2,,.., M(0-t] seront des quantités connues en m, n, p,
Il s'agit maintenant de tirer de ces zs équations, par la voie de l'élimination, les valeurs des tz inconnues y', y", y", . . . , j(CT) ; or, si l'on suivait pour cela la méthode ordinaire, on tomberait dans des expressions fort compliquées et qui auraient d'ailleurs l'inconvénient de renfermer à la fois toutes les quantités t', t"', t'", ... ; il faudra donc employer une antre méthode, et voici celle qui m'a paru la plus propre.
Je prends un nombre tx — i de quantités indéterminées que je désigne par N4, N2, N3,..., N(BJ f), et je multiplie respectivement par ces quantités toutes les équations précédentes, excepté la première; après quoi je les ajoute ensemble, ce qui me donne cette équation unique
= (i-t-IM' +Na/'2 -)-N, t" +...-4-N(Br 1)*"ir-,)r'
-f-(i + N, /" -+-N2*"2 -+-N:)/":' -+-... + N(ra,)f"!!'')j"
-f- ( i + N, t'" -+- Ns t""- -i- N3 1'"- +...-)- N(CT, , t"'a- ' ) ■'"
H- (I -4-N, tw +NafWJ+ Na/C»)» + . . . H- N(B,)<c''"-1 \y ° Supposons, en général,
et désignons par T', T", T", . . . , T(CT les valeurs particulières de T, que l'on aura en faisant successivement t = t', t", t'",..., t(m)\ il est clair que l'équation précédente se réduira à cette forme très-simple
Yy'-hT'y"+ T"y'"+ . . . -t- T(n)r(ral
Maintenant, pour trouver la valeur d'une quelconque des inconnues
y', y", y'" comme dey(p), il est clair qu'il n'y aura qu'à faire évanouir
les coefficients de toutes les autres inconnues, à l'exception de celle-ci, et l'on aura sur-le-champ
M -t- M, N, + MaN3+ M3N... -t-. • . 4- M(g-g N(w-o r . — ~ T f
Et les équations
à l'exception de T(p) = o, serviront à déterminer les ^ — i indéterminées
En effet, pour que toutes ces équations particulières aient lieu a la fois, il est visible qu'il faudra que l'équation générale T=o ait pour racines les quantités t' , t", t'",..., t[™\ à l'exception seulement de t{V; donc, si l'on multiplie le polynôme T, dont le terme tout connu est
l'unité, par le facteur i — --,? on aura le polynôme T(i-- -—}u qui
étant égalé à zéro aura pour racines toutes les quantités / ', t", /'",..., t{TS); mais ces racines sont déjà celles de l'équation 0—jy, donc, puisque le
terme tout connu, tant du polynôme T ( i — -— , ) que du polynôme 0, est
égal à l'unité, il s'ensuit qu'on aura l'équation
oïl tni'ii
d'où, a cause que celle équation doit être identique, on tire
et de là
