R = M2 + AM

on aura, pour la valeur d'une y quelconque,

A + 7.Bt-h 3C^ + 4D/3 + . . .

en prenant pour t la fonction correspondante à la fonction y.

101 . Il est évident que cette solution servira toujours, quelle que soit la valeur donnée de /, pourvu qu'elle ne rende pas nul le dénominateur

iIO A -T 2B/-+- 3Cf + . . .= -r-;

<lt

or, comme la valeur de / doit déjà être une racine de l'équation S = o,

il s'ensuit que le cas de -=- — o n'aura lieu que lorsque cette valeur sera

une racine multiple de la même équation S o.

Pour trouver ce qui doit arriver dans ce cas-là, supposons que / soit la valeur donnée de /, laquelle répond à la valeur cherchée y de r, et que dans la suite des valeurs t', l" , /,..., /"', il s'en trouve une autre comme t qui soit égale à l , en sorte que la valeur donnée / soit une racine double de l'équation 5 = o; considérant d'abord les valeurs /' «■I r comme inégales, on aura

\ iBr-i u:i » ji>/ ■'

et, comme

■ + A« + B*+C!. + ...= »=(,-îr)(.-£,)(,-^)...

on aura, en (fiflerentiant et faisant successivement t — t', t = t",

A + 2B/' + 3GV2 + , A + 2Br'+3C/"2 +

où l'on voit que dans le cas de t' = t" ces deux quantités seront nulles.

Supposons pour un moment que t" = t' 4- w, ta étant une quantité infiniment petite, on aura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

i + llf + îW+...= -ï(,4)(,4r,