A + .1W+SC

Donc faisant, pour abréger,

on aura

mais

dt'

donc on aura

et de là

777 + yr ■+■ 777

Mais, puisque

il est facile de voir qu'on aura, lorsque t = t, i d>6 i / t'\ ( t'\

par conséquent

Donc

?.B + 2.3Cr-t- 3.4DP

Ainsi, dans ce cas, la formule ne donnera pas la valeur de chacune des inconnues y', y", qui répondent aux racines égales t', l", mais seulement celle de leur somme y' ' -\-y", et l'on voit, tant par l'expression précédente que par l'analyse d'où elle résulte, que la valeur de la moitié de cette somme résultera de l'expression générale de y du numéro précédent, en prenant, à la place du numérateur et du dénominateur, leurs différentielles divisées par dt.

On trouvera de la même manière que, lorsque la valeur donnée de / sera une racine triple de l'équation rj = o, en sorte que l'on ait, par exemple, 1' = t" = t'", alors on ne pourra pas avoir en particulier chacune des fonctions correspondantes y\ y", y'", mais seulement leur somme y' + .)'" -Hj'"; et l'expression générale de y donnera le tiers de cette somme en prenant, à la place du numérateur el du dénominateur de cette expression, leurs différentielles secondes divisées par c//2, et ;iiiisi de suite.

102. En général, si en substituant la valeur connue de / dans le dénominateur de l'expression générale de y du n° 101 , on trouve que ce dénominateur devienl nul , alors on le différentiera autant de fois de suite qu'il sera nécessaire pour qu'il ne devienne plus zéro par la même sub-

stitution, en traitant toujours les différences premières dt comme constantes; on différentiera ensuite un pareil nombre de fois le numérateur, et la nouvelle fraction qu'on aura de cette manière exprimera la somme d'autant de valeurs particulières de y qu'il y aura d'unités dans le nombre des différentiations augmenté de l'unité, cette somme étant divisée par le nombre des valeurs de y; et ces valeurs seront celles qui répondent aux valeurs égales de t, dont le nombre, comme on sait, est toujours égal à celui des différentielles successives de 0 qui s'évanouissent en même temps, augmenté de l'unité.

On connaîtra donc ainsi la somme de ces différentes valeurs de y; or, on pourra trouver de même la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., car il n'y aura pour cela qu'à faire un nouveau calcul en prenant, à la place de la fonction y, son carré y2, et ensuite le cube y3, etc.; de là on tirera, par les formules connues, les valeurs des produits deux à deux, trois ;i trois, etc., des valeurs de y, de sorte qu'on connaîtra tous les coefficients de l'équation dont ces valeurs seront les racines; et il faudra ensuite résoudre cette équation pour avoir chacune des valeurs cherchées en particulier.

D'où il s'ensuit que lorsque, parmi les valeurs /', /", t",... de la fonction t, il s'en trouve deux ou plusieurs qui sont égales entre elles, celles des valeurs y', y", y'",... qui répondent aux valeurs égales de t ne pourront pas être données simplement par une fonction rationnelle de / et des coefficients m, n,p,,.. de l'équation proposée; mais elles le seront par une équation d'un degré égal au nombre de ces valeurs égales, et dont tous les coefficients seront eux-mêmes exprimés rationnellement en / et en m, n,p,

C'est ce qui est d'ailleurs bien naturel et conforme aux principes de l'Analyse. Car, puisqu'il y a différentes valeurs de y qui répondent à une même valeur de /, il est clair que chacune de ces valeurs de y dépendra de la même manière de la valeur correspondante de t, et qu'ainsi ces valeurs ne pourront être que les racines d'une même équation, dont les coefficients seront donnés en t par des expressions rationnelles.

Supposons, par exemple, qu'ayant une équation d'un degré quel-

DES ÉQUATIONS. :i83

conque a, telle que

x* -t- W.T11-' -+- nx'-'—2 -f- px^ -f- . . . = o,

on veuille en trouver une autre d'un degré moindre X, telle que

xk -)- ax'"1 -i- bxx~2 -+- cxl~3 ■+- . . . = o,

(fui ait toutes ses racines communes avec celle-là, c'est-à-dire qui en soit un diviseur; on sait que les coefficients a, b, c,... seront tous des (onctions semblables des racines de la proposée, et qui seront susceptibles d'un nombre

y ix — i) ( ' [X. — 2 ) . . . ( (x — 1 -+- i ) i . ?.. 3 ... À

de variations, en sorte que chacun de ces coefficients sera nécessairement donné en m, n, />,... par une équation d'un degré égal à ce même nombre fnos 89 et 98). Or, dès qu'on connaîtra la valeur d'un quelconque de ces coefficients, on pourra, à l'aide du Problème que nous venons de résoudre, trouver la valeur de chacun des autres coefficients; il il s'ensuit de notre solution que si la valeur du coefficient suppose connu est une racine simple de l'équation d'où dépend la détermination de ce coefficient, tous les autres pourront être exprimes rationnellement par celui-là; mais si la valeur du coefficient connu est une racine double, ou triple, ou, etc., de la même équation, alors chacun des autres coefficients ne pourra être donné par celui-là que par le moyen d'une équation du second, ou du troisième, ou, etc., degré.

Pour confirmer à posteriori ce que nous venons de trouver a priori, prenons l'équation du quatrième degré

X* ■+ mx* -t- nx' -4- p.r - q o,

et supposons, comme dans le n" 35 Section II ), qu'elle soit divisible par celle-ci du second degré

on parviendra, ainsi qu'on l'a déjà vu, aux deux équations de conditions

donl la première donne d'abord

b m — if

ainsi, ayant g- exprimé rationnellement en/, il suffira de trouver la valeur de /pour avoir celle de g sans aucune extraction de racines. Cependant,

s'il arrive que la valeur de y soit égale à — et qu'on ait en même temps

p = — ■ — TT-5 cette valeur de/" donnera g = -; et il faudra alors, pour

connaître la valeur de g, avoir recours à l'autre équation où g monte au second degré, et qui est

g2- (» — mf+f*)g-*-Ç = °i

de sorte qu'en mettant — à la place de /on aura celle-ci

par la résolution de laquelle il faudra donc déterminer g. Or je dis que

le cas dont il s'agit est celui où la valeur — de /sera une racine double de l'équation en /

Pour le prouver nous remarquerons que cette équation en /doit venir de la substitution de la valeur de g tirée de la première équation, dans la seconde; ainsi faisant, pour abréger,

p — nf-h mf- —f3 — P, m — if— Q,

en sorte que g — —, on aura, pour l'équation en/, celle-ci

P2- {n — mf-i-f1)PQ + qQ2=o,

laquelle étant développée montera au sixième degré et se trouvera la

même que celle du numéro cité 35; or il est visible que, lorsque

mn m3 , , , , , m

/> = h-? une des racines de cette équation sera égale a — > parce

(ju'en faisant/= — on aura en même temps P = o et Q = o; et comme ces deux conditions détruisent, non-seulement tous les termes de l'équation dont il s'agit, mais aussi ceux de sa différentielle qui sera

>P</P — {ifdf- mdf) PQ - (n - mf-hf1) (PdQ -+ Qf/Pi -+- ?^Qf/Q = o,

tion.

il s'ensuit que la racine /= — sera une racine double de la même équa-

103. Nous avons supposé jusqu'ici que les deux fonctions / et y étaient semblables; considérons maintenant le Problème dans toute sa généralité en supposant que ces fonctions soient d'une forme quelconque.

Qu'on fasse successivement dans l'une et l'autre fonction toutes les permutations possibles entre les racines x\ oc", oc'",... dont elles sont composées, en n'ayant cependant aucun égard a celles de ces permutalions qui redonneraient à la fois les mêmes valeurs de / et de v, et il en résultera un égal nombre ^ de valeurs correspondantes de / ci de y, que l'on désignera, comme dans le n° 100, par /'. /", /,..., t[73), et par y', y", y'",-.-, J(CÏ). Dans le cas où les deux fonctions / et v sont semblables, les valeurs /', t", t",..., tm seront toutes exprimées d'une manière différente, et seront les racines de l'équation la plus simple 0 = o qui servira a déterminer la fonction / en m, //, />,.... et il en scia de même des valeurs y', v ,y y a ; ce qui n'empêche cependant pas que quelquesunes des valeurs de t OU de y ne puissent être égales entre elles, comme

dans le cas que nous avons examiné dans le n" 102; il s'agit ici uniquement de la forme de ces valeurs et non de leur quantité absolue. Au

contraire, lorsque les fonctions t el y ne seronl pas semblables, il arrivera nécessairement que parmi les valeurs /', /". 1 i~ , ou v. y .

Y v ^ il v en aura qui seronl les mêmes, en sorte que le nombre des

valeurs différentes '\*' l OU de v sera moindre que GT, et il est facile de conclure de ce que nous avons démontré dans le n" <)7 que ce nombre

ne pourra être qu'un sous-multiple de ts. Or il y a ici deux cas a considérer, suivant que le nombre des valeurs différentes de la fonction donnée t sera égal à ts ou à un sous-multiple de ts.

i° Supposons que les valeurs /', t", t'",..., tm de la fonction t soient toutes différentes, c'est-à-dire représentées d'une manière différente; en ce cas il est clair que l'équation (5 = o aura nécessairement pour racines toutes ces différentes valeurs, en sorte qu'elle sera essentiellement du degré ts, quelles que soient d'ailleurs les valeurs de la fonction cherchée y; ainsi la solution du n° 100 s'appliquera également a ce cas.

20 Supposons que parmi les valeurs t ' , t", t'",..., t{vl) il n'y en ait qu'un nombre p de différentes, p étant un facteur de ts, en sorte que ts = pn\ en ce cas, si 0 = o est l'équation dont ces différentes valeurs sont les racines, il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans le n° 97 que l'équation qui aura toutes les valeurs /', t", t'",..., t^' pour racines sera 0' = o; en sorte que chacune de ses racines en aura a — 1 autres qui lui seront égales. On pourra donc encore appliquer à ce cas la solution générale du n° 100, pourvu qu'on prenne 0" — o pour l'équation en t, c'est-à-dire qu'on fasse

mais, à cause que chaque racine de cette équation est une racine égale, il faudra modifier la solution par les règles données dans le n° 102 pour le cas des racines égales; et au lieu de trouver la valeur de chaque y répondante à chaque /, on ne trouvera plus que la valeur de la somme de toutes les y qui répondront aux valeurs égales de t; or, comme chacune des valeurs différentes de t se trouve répétée a fois dans la série t', t", t'",..., t{rn), et que d'ailleurs à chacune des valeurs de cette série il répond, une valeur de la série y', y", y '",..., y ■r7), en sorte que les mêmes valeurs de t et de y ne se trouvent pas deux fois dans les mêmes séries à des places correspondantes, il s'ensuit qu'à chaque valeur différente de / il répondra -7 valeurs différentes y, et qu'ainsi en connaissant une valeur de / on ne pourra connaître que la somme des t valeurs différentes de y qui y répondent.

De là et du n° 103 on conclura donc que, dans ce cas, chaque valeur de y ne pourra être donnée en t qu'au moyen d'une équation du degré a laquelle renfermera à la fois toutes les valeurs de y répondantes à une même valeur de t.

Au reste on peut simplifier beaucoup la solution du cas dont il s'agit en le ramenant à celui des fonctions semblables; car il est visible que si à la valeur^', par exemple, répondent les valeurs y', y", y"',..., j(T), toute fonction delà forme /[(j', y", y '",..., y 7JjJ sera telle, qu'elle n'admettra plus que (0 valeurs différentes comme la fonction t', et qu'ainsi ces deux fonctions seront des fonctions semblables des racines x', x", x'", — Par conséquent, en prenant à la place de la fonction y une fonction quelconque de la {orme f\(y' , y" , y'",..., y{"])], on trouvera directement la valeur de cette fonction en t par la solution du n" 100, en employant simplement l'équation 0 = o, qui n'aura pour racines que les p différentes valeurs de /. Ainsi l'on pourra connaître par ce moyen tous les coefficients de l'équation dont les valeurs y', y", y'",..., yw seront les racines, puisque chacun de ces coefficients est nécessairement une fonction de la même forme /T ( y', y", y'",..., J(7,)j (89).