Donc

i" Si l'on a deux fonctions quelconques / et y des racines .r . x", > .... de l'équation

et que ces fonctions soient telles, que toutes les permutations entre les racines a/, af, x'",..., qui feront varier la fonction y, fassent varier aussi en même temps la fonction /, on pourra, généralemenl parlant, avoir la valeur de y en t et en m, n, p,..., par une expression rationnelle, de manière que connaissant une valeur de / on connaîtra aussi immédiatement la valeur correspondante «1er; nous disons généralement parlant , car ^'il arrive que la valeur connue de / soi I une racine double, on triple, etc., de l'équation en t, alors lu valeur correspondante de y dépendra d'une équation carrée, ou cubique, etc., dont tons les coefficients seront «les

fonctions rationnelles de / et de ///. //. /'

■ju Si les fonctions t et y sont telles, que la fonction t conserve la même valeur par des permutations qui font varier la fonction y, alors on ne pourra trouver la valeur de y en t et en m, n, />,,.. qu'au moyen d'une équation du second degré, si a une même valeur de t répondent deux valeurs différentes de y, ou du troisième degré, si à une même valeur de / répondent trois valeurs différentes de y, et ainsi de suite. Les coefficients de ces équations en y seront, généralement parlant, des fonctions rationnelles de t et de m, n, /?,..., en sorte qu'étant donnée une valeur de t, on aura y par la simple résolution d'une équation du second ou du troisième degré, etc.; mais s'il arrive que la valeur connue de t soit une racine double ou triple, etc., de l'équation en t, alors les coefficients des équations dont il s'agit dépendront encore eux-mêmes d'une équation du second ou du troisième degré, etc.

De là on peut déduire les conditions nécessaires pour pouvoir déterminer les valeurs mêmes des racines x , x", x'",..., au moyen de celles d'une fonction quelconque de ces racines; car il n'y aura pour cela qu'à prendre la simple racine a? à la place de la fonction y, et appliquer à ce cas les conclusions précédentes.

105. Voyons maintenant l'application qu'on peut faire des principes établis jusqu'ici, à la résolution générale des équations; nous commencerons par examiner le cas où il n'y a que trois racines x' , x", x", c'està-dire où l'équation proposée est du troisième degré.

Dans ce cas, si l'on considère la fonction générale f[{x) (x") (x '"jj, on trouvera qu'elle doit dépendre d'une équation du degré 1.2. 3, dont les six racines seront

f[Xx')yX")[x'")}, /[(*")(*')(*'")],

f[{x'")lx")[x')], f[(x"){x'")ix')}, f[(x'){x"')(x")}, f[[xm)[x'){x")}.

Maintenant, pour pouvoir abaisser cette équation à un degré moindre que celui de la proposée, il est clair qu'il n'y a d'autre moyen que de faire en sorte que ses racines soient égales, trois à trois; auquel cas elle

se réduira au second degré. Pour cela on supposera que la fonction proposée soit telle, que l'on ait

indépendamment de toute relation entre les racines x', x", x'", c'est-àdire que cette fonction demeure la même en y changeant x' en x", x" en x'", et x'" en x'; et l'on aura par la même raison

et ensuite

d'où l'on voit que ces trois fonctions

seront nécessairement égales, et qu'il n'y aura que ces trois-ci qui puissent l'être en vertu de la condition supposée; par conséquent les trois autres fonctions

seront aussi égales; de sorte que (98) l'équation dont il s'agit s'abaissera

;in degré — ^ — = 2.

Or, pour trouver, en gênerai, la forme de la fonction proposée, qu'on prenne une autre fonction quelconque représentée par ?[(#') (x") (x'")\; qu'on désigne, pour abréger, par v , y", y" les trois fonctions

qui repondenl aux trois premières fonctions égales ci-dessus, et par s . . -, les trois fonctions K

<|ui répondent aux trois autres fonctions égales; il est clair qu'on pourra exprimer toute fonction de x',x",x" par une fonction quelconque de \ y", y '", ou de r , ; , z , puisque la caractéristique f dénote une fonction indéterminée quelconque. Ainsi l'on pourra représenter, en gênerai, la

fonction /[(#') (a?") {x'") ] par celle-ci /[(y') (y") (y' ")]; or il faut, par les conditions du Problème, que cette fonction demeure la même en y échangeant x' en x", x" en x'" et x" en x'\ donc, puisque par ces échanges les trois quantités y', y", y'" ne font que se changer l'une dans l'autre, il s'ensuit que la fonction/ [( y') (y") (y"")] doit être telle qu'elle demeure la même, quelque permutation qu'on y fasse entre les trois quantités y', y", y'", et par conséquent qu'elle soit de la forme f\( y', y", y'")]. Toute fonction donc de la forme

fi'.r', )■",.)'"

aura les propriétés requises, et ne dépendra par conséquent que d'une équation du second degré. En effet, il est facile de voir que, quelques permutations qu'on fasse entre les trois racines x', x", x'", les trois quantités y', y", y'" ne peuvent que s'échanger entre elles, ou dans les trois quantités analogues z', z", z'"; d'où il s'ensuit que la fonction

ne peut que demeurer la même ou se changer dans la fonction

et qu'ainsi ces deux fonctions ne peuvent qu'être les racines d'une même équation du second degré.

Regardons maintenant ces fonctions comme connues, et la difficulté se réduira à trouver par leur moyen les valeurs de chacune des quantités y', y", y'" et z', z", z'". Or, comme les fonctions dont il s'agit sont de nature a demeurer les mêmes, quelque échange qu'on fasse entre les quantités y', y", y'", ainsi qu'entre les quantités z', z", z'", il s'ensuit de ce qui a été démontré ci-dessus, que les trois quantités y', y", y'" seront les racines d'une équation du troisième degré, et les trois quantités z', z", z les racines d'une autre équation du troisième degré. Qu'on représente ces équations par celles-ci

r3 — ay2 -+- by — c = o, z3 — fz2 + gz — h = o ,

et, comme les coefficients a, b, c sont des fonctions de la forme f[iy > j"> y '")]■> et 'es coefficients/, g-, h des fonctions analogues de la forme /[(z', 2", s'")], il résulte de ce qui précède que les coefficients correspondants a et/ seront les racines d'une même équation du second degré, dont les coelficients seront donnés en m, n, p, et il en sera de même des coefficients b, g et c, A; sur quoi il est bon de remarquer que dès qu'on aura trouvé les valeurs de a et/ on pourra, par leur moyen, trouver immédiatement celles de b, gei c, h, par la méthode du n" 100.

Puis donc que les équations en y et z sont l'une et l'autre du troisième degré, il faut tâcher de les ramener a une forme qui en permette la résolution; car, d'un côté, on ne saurait les résoudre, en général, au moins on est censé ne savoir pas les- résoudre, puisque la résolution des équations de ce degré est précisément ce qui fait l'objet de cette recherche: de l'autre, on ne peut pas employer la méthode du n" 99 pour abaisser ces équations à un degré inférieur, a cause que l'exposant J> est un nombre premier qui n'a point de diviseur.

Or, comme la résolution des équations à deux termes est toujours possible, il conviendra de réduire les équations donl il s'agit à cet état; ainsi nous supposerons que l'équation en v devienne

ou, plus généralement, de la forme

et, pour trouver les conditions nécessaires pour cela, il n'y aura qu'à remarquer qu'en prenant 1, 7, y.1 pour dénoter les racines cubiques de l'unité, on aura

/ . /. » h xft, }■"■ | I, xi /.

d'où l'on lire, à cause de «•= 1 ,

Ainsi, il faudra que la fonction <lr .r . , / . qu'on a désignée par la

caractéristique 9, soit telle qu'on ait, indépendamment de toute relation entre les racines x' , ce", ce'",

Et alors on aura aussi , en échangeant x' en ce" ,

^[{x"){x'){x'")]-hk = <xi[(f[{x'){x,"){x")] + ff]=a[^[{x"') x" x' \ + k\\

c'est-à-dire

z'-hk = a? (z" 4- k : = a (*'" 4- k ,

moyennant quoi l'équation en z se réduira aussi à la forme

(z -+- ky— r = b.

Or, en comparant l'équation

avec l'équation

y3 — ay- -+- ôy — c = o,

on a

et par conséquent, à cause de

(puisqu'on est maître de substituer, à la place de y, une quelconque de

ses racines),

c = 1 y' -t- A- ï3 — kz ;

on trouvera de même

De sorte que ces deux quantités

\y[{x'){x"){x'")]-^k\% — k3 et [?[(*' *')(**)] H- Àr]1 — A*

seront les racines d'une équation du second degré, qu'on pourra par conséquent regarder comme la réduite générale du troisième degré. Par la résolution de cette équation on connaîtra donc les valeurs des

deux fonctions y [(x' ) (x") (oc'")] et o [(oc") (x ) (oc'")], et l'on aura celles • les quatre autres fonctions dérivées de celles-ci, par le moyen des équations de condition ci-dessus. Or, ces fonctions étant connues, on pourra en déduire les valeurs de chacune des trois racines x', x", x'" (104J.

106. Voilà donc le principe de la résolution des équations du troisième degré présenté de la manière la plus directe et la plus générale; il est facile d'en faire des applications particulières et d'en déduire les différentes théories que nous avons données dans la Section I.

La forme la plus simple qu'on puisse donner à la fonction

est celle-ci

\x' -+- Bj" + Cx"' 4- D,

A, B, C, D étant des constantes; ainsi l'équation de condition sera

Ax' -4- bx" + Cx'" -+- D -+-/,- = a? (A x' + bx" + Cx' + D -+- i

- x {Ax'" + Bx1 -+ Cx' D -+- /,' ; d'où l'on tire ces équations

B^fA aC,