I..i seconde donne

et ces valeurs satisfont aussi en même temps à la première et à la troisième, ;i cause de «'= i ; quant à la quatrième, elle donnera

l» /. <>, et pnr conséquent 1) - I, ; ainsi la fonction proposée sera de la forme

\ x' -h oi? x1' -f- cr.x" — /. ,

qui, en faisant /• o, est précisément la même à laquelle nous avons été conduits à posteriori dans la Section citée (5 .

107. Supposons maintenant qu'il y ait quatre racines, x' , x", x"', xlv, ce qui est le cas des équations du quatrième degré; et, considérant la l'onction générale f[{x') (x") {x'") (VV)J , on trouvera qu'elle devra dépendre d'une équation du degré 1.2.3.4 dont les vingt-quatre racines seront (96)

/{(*' ■ x" {xa)(x" f[<x'" ){x" )(x' ){x" f[{x' i x1" ,:x" x" f[ix")(x" )(x'" )(x' f[(x'" ){x" )\x'--)<x' f[{x") x'" {x" ){x' f[(x' )(*")(«• x" f[\x'" ) (.r'M [x' ){x" f[(x' ){x"'){x" x" f[(x' ){x" ){x'-){x'" \ f[(x")(x"){x' IX'" f[(x' ,rM {x" ){x'")

f[(x" 'x' \{x'") x" ], f[{x" )'x'")'x' )(*»)], f[{x"' 'x' )< x" ){x")], f[(x" \(x")(x" x' |], f[(x" ) x'" \{x" x' )], f[(x'" \{x") x" [x' )], /[ xIV)(x' ){x'")(x")], f[(xl*){x'" • x' | {x" i], f[{x'" ){x' ){x"){x" j], f[ix" ){x' x" x"' }, f[(x")[x" x' x"')], f[{x"){x' ){x" ){x'")].

11 faudra donc tacher d'abaisser cette équation à un degré moindre que le quatrième, c'est-à-dire au second ou au troisième degré, et il conviendra de choisir ce dernier, comme étant le plus haut qu'on puisse admettre dans cette recherche. Pour cela, il faudra donc faire en sorte que les vingt-quatre racines que nous venons de trouver soient égales huit à huit, et l'on y parviendra en comparant ces racines les unes avec les autres de toutes les manières possibles, jusqu'à ce qu'on trouve une combinaison qui donne justement huit racines égales, car alors les seize autres seront aussi égales huit à huit (97).

Supposons d'abord

en sorte que la fonction proposée soit de la forme/ [(x, x x [a?"j\, et lotîtes les racines deviendront égales deux à deux, de manière que l'équa-

lion ne montera plus qu'au douzième degré (98). Supposons ensuite qu'on ait aussi

rYst-à-dire que la forme de la fonction soit /[(#', x") {x'", xlv)], l'équation se réduira par là au sixième degré. Enfin, si l'on suppose encore qu'on ail

c'est-à-dire que la fonction proposée soit telle, qu'elle ne change point lorsqu'on y échange à la fois .r'et .r"en x'" et xxv, elle se trouvera réduite à l'état demandé, puisqu'elle n'admettra plus que ces trois variations

f[(x', x" <x'", *»)], f[(x', x'" ii", *«)], f[(x', a?" x' , x'")],

de sorte qu'elle ne pourra dépendre que d'une équation du troisième degré, dont ces trois fonctions seront les racines.

Pour trouver la forme générale de la l'onction dont il s'agit, je prends, comme dans le n" 105, une autre fonction quelconque, désignée par ?[(.x' j(x")(x'")(x'v)\, et je la réduis d'abord à la forme f[(x', x") (x'", a?,v)] , pour qu'elle demeure la même en y, changeant x' en x' ou a?"' en a?,v; supposant maintenant, pour plus de simplicité,

il est clair que toute fonction de la forme /[{&', x") (x'", r'\ pourra s'exprimer par une fonction dey' et y-, de sorte qu'on pourra représenter, en généra] , la fonction cherchée par/| (y' , y" ' ) ] ; mais il faut , par l'hypothèse, que cette fonction demeure aussi la même en y changeant à la fois .r et .r" en .r" et .r'v; donc, puisque par ces permutations les deux

quantités y' et y" se changent l'une dans l'autre, il faudra que la fonction /[{y') {y")] soit de la l'orme J"\ 'y', y") J .

Ainsi l'expression générale de la fonction cherchée sera

en effet, si l'on fait

z' = cp [{x1, x'" ) {x", X"j], z"=<?[{x",x"){x', x"')],

et ensuite

iï =- v?[{x' , x") (x", x'" )},

u"= çp [(x", x'" ) f x', x'v i],

il est facile de voir qu'en faisant telle permutation qu'on voudra entre les quatre racines x', x", x'", xlv, il n'en résultera jamais que ces trois fonctions différentes

de sorte qu'elles seront nécessairement racines d'une même équation du

troisième degré.

On pourra donc par la résolution d'une équation du troisième degré

déterminer la valeur de toute fonction telle que f[(y', y")]- Ainsi, si

l'on suppose que les quantités y' et y" soient les racines de cette équation

du second degré

y2 — ay -\- b = o,

chacun des coefficients a et b sera donné par une équation du troisième degré, puisqu'il sera de la forme/ [(j',j")j ; de sorte que par là on connaîtra les deux quantités y' et y". Or si l'on suppose, ce qui est permis, <jue la fonction f [{x , x" ) (x'", xlv)] ne renferme que les deux racines x' etx", en sorte qu'elle soit simplement de la forme <p [(x' ', x")], on aura

y' = <p [{x', x" i] et y" = ®[[x'", x'* )]; donc, si l'on prend x' et x" pour les racines de l'équation

x1 — fx -+- g— o,

et x'", xlv pour celles de l'équation

x2 — hx -t- 1 = 6,

les valeurs des coefficients y, g, h, l ne dépendront que d'équations du

troisième et du second degré; et ces valeurs étant connues on aura celles des quatre racines cherchées par la résolution des deux équations précédentes du second degré.

Tel est le principe général auquel se rapportent la plupart des méthodes pour la résolution des équations du quatrième degré, comme on peut le voir par l'analyse que nous en avons donnée dans la Section II.

En effet, si l'on fait

9[{x',x")] = x' + x" ei f[(r',r")] = {r'-r")*>

il en résultera la solution du n° 32, et faisant

<?[{x',x")] = x'x" et /[(r',r")]=r'+r"'

il en résultera celle du n° 31, et ainsi des autres.

108. On peut encore dériver la résolution des équations du quatrième degré d'un autre principe, en faisant une combinaison différente des vingt-quatre fonctions du n° 106. Car, si l'on suppose d'abord

c'est-à-dire que la fonction demeure la même en y changeant ii la fois x en x", x" en x'", x" en rlv el .rlv en .r', on trouvera ensuite

f[(a a >■ x' ]=/| *'" x"){x'){x" , et de là

et enfin

de sorte que les fonctions

seront égales, el qu'il n'y aura que ces quatre qui le seront ; d'où il s'ensuit tpie les quatre fonctions dont il s'agit seront égales quatre à quatre, if qui conduira d'abord à une équation du sixième degré.

Maintenant, si l'on suppose encore cette égalité

f[(x' ) ! x" ) ix'" r *1V)] =/[{*") fx'") (*" i ' x')},

c'est-à-dire que la même fonction reste aussi invariable en y changeant à la fois x' en xlv et x" en x'", et vice versa, il en résultera encore quatre autres fonctions égales aux précédentes, savoir

f[{x^){xm){x" ){xJ )], f[{x"'){ûS" ){x' )(*"}], f[(x" )(x')(x")(x'")], f[ix' \{x" [x'" ,r";],

moyennant quoi les vingt-quatre fonctions du numéro cité se trouveront égales huit à huit, et ne dépendront plus que d'une équation du troisième degré.

Or, en prenant une autre fonction quelconque des racines a;', x", x'", x"', qu'on désignera par la caractéristique o, et désignant par y', y", y'", rIV, yy, y", JVI1> JV1" les huit fonctions suivantes

<f[{x' ){x" )[x'" )(x1")], <p[(x" ){xr"){x"){x' )■],

o[(x'" )\xiy)ix' ){x" )], f[{x'v){x' ){x")(x"')],

<ç[{x"){x' ){x")(xm)], <p[(jr' )(x")(x"'){x")],

qui répondent, comme on voit, aux huit fonctions égales ci-dessus, on pourra représenter toute fonction, qui doit demeurer la même soit en changeant x' en x", x' en x'", x'" en ^rIV et ^r,v en x', soit en changeant x' en xlv et x" en x'", par celle-ci

/[> r'> r"> r'"> >"v> r,ri, r", jviii)]j

car il est facile de voir que par ces échanges les quantités/', y", y'",... ne feront que s'échanger les unes dans les autres.

Cette fonction aura donc la propriété de ne conduire qu'à une équation du troisième degré; en effet, si l'on désigne par z' , z", z'", z,v, zv,

zVI, zv", zVIU ces huit fonctions-ci

tp[ xIV)(x"')(x' ){x" )}, <?[{x' ){x'v){x"){x'" },

et par u, u", u'", un , uw, uvl, uvn, uy"1 ces huit autres-ci

y[{x'" ){x' )(xlv)(x" i], vi ■'", #' •*'' •'" l>

?[(.r" ]ix"r.r' )(*'")], v [ ■*'' ' •r'" .*"v) (*")],

s>[ .r-ji.r" \{x"' x' ], <p[ .r'" (*' ) x*v) (ar* )],

on verra aisément que, quelques permutations que l'on fasse entre les quatre racines x', x", x'", x1*, on n'aura jamais que ces trois fonctions différentes

f U1, II , U'", H'"', ll\ II" ' , II" " , Il " '

qui seront par conséquent racines d'une équation du troisième degré.

Ainsi, la résolution générale de ce degré étant supposée, on pourra déterminer toutes les fonctions de la forme des précédentes; mais,

comme les quantités y1, y", ... , z', z //', ?/",... entrent de la même

manière dans ces sortes de fonctions, il est clair que leur détermination

dépendra enrôle de trois équations, chacune du huitième degré.

Il Faudra donc tâcher de nouveau de rabaisser ces équations au-dessous du quatrième degré: c'est ce qu'on obtiendra en supposant que la fonction représentée par la caractéristique v s0'1 telle, qu'elle demeure la même en j changeant x en x", -r' en * . x en a»" et •»■' en x : car alors les quatre quantités y', y . y , v' deviendront égales, et les quatre autres J , »",>-v",yv'" aussi égales; et il en sera de même des quantités

correspondantes s', z et u', u ,

De celle manière les trois fonctions précédentes pourront s'exprimer simplement par les formules

et les quantités y', yy\ z', zy; u! ', mv seront les racines de trois équations du second degré telles que

y* — ay -t- 6 = o,

z- — cz -+- d = o, "2 — /" "+■ g = o»

où les coefficients a, c, y seront racines d'une équation du troisième degré, ainsi que les trois autres coefficients b, cl, g.

11 ne reste donc qu'à trouver la forme que doit avoir la fonction f pour que les conditions prescrites aient lieu. Pour y parvenir de la manière la plus générale, on prendra une autre fonction quelconque de x', x", x'", xlv, qu'on désignera parla caractéristique <I> : on formera, comme ci-dessus, les vingt-quatre fonctions qui répondent aux vingt-quatre permutations qu'on peut faire entre les racines x', x", x"', xlv; et l'on désignera ces fonctions par les quantités Y', Y",..., YVUi, Z', Z",..., ZVI", U', U",..., Uv,n; c'est-à-dire qu'on changera dans les formules ci-dessus la caractéristique o en <[>, et les petites lettres y, z, u dans les grandes lettres Y, Z, U. Ensuite, en prenant de nouveau la caractéristique ç pour désigner une fonction quelconque, il est facile de voir qu'on aura, en général,

r'=--cp[(Y',Y",Y'",Y")], r = ?l<Y\Y',Y"',Y— )], z' =<?[iZ',Z", Z'", Z")], zv = <p[(ZT, Z", Z"', Z"" |], «' = <p[(U', U",U'", U")], «' = <p[(Uv,U:x, UT",U*»' .

De la il est aisé de conclure que la détermination des fonctions Y', Y", Y'", Ylv dépendra maintenant d'une équation du quatrième degré, ainsi que celle des fonctions Yv, YVI, YVI1, Yvm, et il en sera de même des autres fonctions Z', Z",..., ZVI" et U', U",..., lvni, qui dépendront aussi quatre à quatre d'équations du quatrième degré.

Soit donc

Y4 — AY3 + BY2 - CY + D = o

l'équation dont les racines seraient Y', Y", Y'", YIV; il est clair qu'on

pourra la résoudre de deux manières :

i° En faisant disparaître ses puissances impaires pour la réduire à la

forme

Y* + BYJ+D = o.

qui est résoluble à la manière de celles du second degré; or pour cela il faudra que les racines Y', Y", Y ", YIV soient deux a deux égales et de signes différents, c'est-à-dire que l'on ait

Y'=-Y" et Y*=— Y".

Ainsi il faudra, dans ce cas, que la fonction <I> soit telle, que l'on ait

et

c'est-à-dire qu'elle ait la propriété de devenir négative en y changeant x' en x", x" en x'", x'" en xxv et xlv en x'; auquel cas on aura aussi

d'où l'on voit qu'on aura en même temps

c'est-à-dire

Y' = YW= — Y"=— Y":

ce qui rendra l'équation en Y de celte l'orme

(Y2— E)'=o, c'est-à-dire Y3 — E o.

Et il est facile de voir que les antres équations dont les racines seront les quantités Y\ Y", YT", Yv"\ OU Z , Z", Z"', Z'\ OU, etc.. se trouveront

;nissi par la réduites ;• la même forme, puisque ces racines ont entre elles