III. 5l

la même relation (ju'ont les racines Y', Y", Y", Y1V, laquelle consiste en ce que l'une dérive de l'autre par les échanges de x en x", x" en x'", x" en x" eixïy en x '.

Les fonctions

■A* I iA/ «A- t// « tAs JLr tAs \As a

et d'autres semblables, auront la propriété dont il s'agit. 20 On peut aussi rendre résoluble l'équation générale

Y« - AY3 + BY2 - CY + D = o,

en la réduisant à deux seuls termes

auquel cas les quatre racines Y', Y", Y", Y1V seront exprimées ainsi

^=T), asJ/-^D, a2^/~D, .a^^T),

en prenant i, a, a2, a3 pour les quatre racines quatrièmes de l'unité; de sorte que la condition pour ce cas sera, à cause de a4 = i ,

c'est-à-dire qu'il faudra que la fonction $ soit telle, qu'on ait

$>[{x' )lx" )(x'")(x,y)] = a $[(x" ) [x'" } { x'" ) { x' )] = a.2<&[(x'")(x"){x' ){x" )] = a*$[(x")(x' )(x" )(x'" )}.

Hit alors toutes les équations du quatrième degré d'où dépendent les autres quantités Yv, YVI, Yvn, Yvm, Z\ Z",... se trouveront aussi réduites au môme état, par la raison énoncée ci-dessus.

Il est facile de trouver que la fonction

x' ■+- xx" + ofx'" -+- a?x,y

aura la propriété requise; d'où l'on peut conclure que l'analyse précédente contient le fondement de la méthode du n° 47.

109. Voilà, si je ne me trompe, les vrais principes de la résolution des équations et l'analyse la plus propre à y conduire; tout se réduit, comme on voit, à une espèce de calcul des combinaisons, par lequel on trouve à priori les résultats auxquels on doit s'attendre. 11 serait à propos d'eu faire l'application aux équations du cinquième degré et des degrés supérieurs, dont la résolution est jusqu'à présent inconnue; mais cette application demande un trop grand nombre de recherches et de combinaisons, dont le succès est encore d'ailleurs fort douteux, pour que nous puissions quant à présent nous livrer à ce travail; nous espérons cependant pouvoir y revenir dans un autre temps, et nous nous contenterons ici d'avoir posé les fondements d'une théorie qui nous parait nouvelle et générale.

110. Avant de terminer celte Section, nous croyons devoir encore traiter en peu de mots de la réduction ou abaissement des équations à un moindre degré, qui a lieu lorsqu'il y a entre quelques-unes des racines de l'équation proposée quelque relation donnée. Car, quand toutes 1rs racines d'une équation ont entre elles les mêmes rapports, l'équation est alors nécessairement et essentiellement d'un degré égal au nombre des racines, et il est impossible, généralement parlant, qu'elle puisse s'abaisser à un moindre degré. C'est ainsi, par exemple, (pie le Problème de la trisection de l'angle, considéré eu général, est nécessairement du troisième degré, puisqu'il va trois différentes manières d'y satisfaire, lesquelles conduisent toutes à une même équation, où les trois solutions sont également renfermées. Cependant il y a, comme un sait, des cas particuliers OÙ l'on réussit il rabaisser ce Problème au second degré, parce qu'il y a alors un rapport particulier entre deux des racines de l'équation.

Il eu est de même de tous les Problèmes et de toutes les équations, S'il

\ a une relation particulière entre quelques-unes des racines d'une équation quelconque, on est assuré qu'elle peut s'abaisser à un moindre degré; et si l'on connaît à priori cette relation, OU par la l'orme même de l'équation, on par la nature du Problème qui J a conduit, on pourra toujours trouver la réduction dont elle est susceptible.

M. Ilndde est , je «rois . le premier qui ail traite (elle matière dans la

Lettre De reductione equationum qui est imprimée à la suite de la Géométrie de Descartes. Il y fait voir comment une équation peut être abaissée a un moindre degré lorsqu'il y a entre quelques-unes de ses racines une relation telle, que leur somme, ou la somme des produits deux à deux, ou des produits trois à trois, ou, etc., est nulle ou égale à une quantité donnée; comme aussi lorsqu'elle renferme des racines égales ou des diviseurs commensurables quelconques. D'autres Géomètres se sont ensuite exercés sur cette matière et ont perfectionné et étendu plus loin les règles et les méthodes de M. Hudde {voyez surtout l'excellent Ouvrage de M. Waring cité ci-dessus); mais on peut encore envisager ce sujet d'une manière plus générale d'après les principes établis dans les nos 100 et suivants.