Si, dans l'équation du degré p

X'1- -+- mx'f -+- nx*~2 -h px^~3 -+- . . . = o,

dont les racines sont ce', x", x "',..., xw, on suppose qu'il y ait une relation connue entre quelques-unes de ces racines, comme entre celles-ci x', x",x'",..., xa>, X étant plus petit que /x; il est d'abord clair que cette relation pourra toujours s'exprimer par une équation dont le premier membre sera une fonction algébrique de x', x", x'",..., x'l); de sorte qu'on connaîtra par ce moyen la valeur d'une fonction telle que

f[(x'){x")(x"')...{xO-))].

Or :

i° Si l'équation dont nous parlons est telle, qu'elle n'ait lieu qu'entre les racines x', x", x'",..., x{)\ et même d'une seule manière, en sorte qu'elle cesse d'être vraie si l'on fait une permutation quelconque entre ces racines, alors on pourra, généralement parlant, déterminer la valeur de chacune des racines x', x", x'",..., x{l] en particulier sans la résolution d'aucune équation, de sorte que dans ce cas ces racines seront nécessairement toutes commensurables (104). .

2° Si l'équation qui renferme la relation donnée entre les racines x', x", x'",..., x'l) n'a lieu à la vérité qu'entre ces racines, mais qu'elle sub-

siste cependant en y changeant, par exemple, x en x", alors on verra par le numéro cité que les deux racines x', x" dépendront nécessairement d'une équation du second degré, telle que

x2 — ax -+- h = o,

dont les coefficients a et b seront commensurables.

3° De même, si l'équation en question est telle, qu'elle soit vraie aussi lorsqu'on y change x' en x" et en x'", les trois racines x', x", x'" dépendront alors d'une équation du troisième degré, telle que

.r1 — ax2 + bx — c = o,

où les coefficients a, b, c seront commensurables, et ainsi de suite.

4° Si l'équation qui n'a lieu que d'une seule manière entre les racines x ', x", x'",..., x°!, comme dans le premier cas, a lieu aussi en même temps entre les racines a?(W,), x<l+'2), a?(X+3),..., a?(2)°, alors, comme la fonction /[(a?') {x") (x'") ... (x{1))] demeure la même en y changeant x' en a7(*rM), x" en .r()+2\..., il est clair que les racines x', a?()i~t",) dépendront d'une équation du second degré, comme

x2— oex -+- (3 = o,

où y. el /3 seront commensurables; et il en sera de même des racines a?", x(1+2>, des racines x'", .r /+:l , et ainsi des autres.

De même, si l'équation a lieu également entre les racines .r . x", x

/ . entre les racines .//t,), x{l+2), a?(X+8),..., a?2" et entre les racines / - ' ,.r '>'■■ ,.r 2)+:,1,...,a-3> , alors les racines x' , x "' ' ' , x '-' ' ' dépendront (l'une équation du troisième degré, telle que

OÙ ?, |3, y seront commensurables; cl il en sera de même des racines a? , - , ./ J' -' , des racine- > . a . ' !U8), et ainsi de suite.

5° Mais si l'équation qui, comme dans le deuxième cas. a lieu de deux manières différentes entre les racines i . i . i ..... .>■ ' , avait lieu de

même entre les racines xa+,), x{l^2), x{''^],..., a?(aX), alors on aurait pareillemenl pour les racines x', x" l'équation du second degré

et de même pour les racines x &+*), xll+2) l'équation du second degré

où les coefficients analogues a', a" seraient racines d'une autre équation ilu second degré, telle que

y et (i> étant commensurables; et il en serait de même des coefficients b et b".

Et, si la même équation avait lieu aussi parmi les racines x -'"",

x 2Vt~2), x{2U "3),..., x{3", alors on aurait pour les racines x', x" l'équation

x'1 — a! x -t- // = o, pour les racines xc'+i>, xc'-+2> l'équation

x- — a " x -+- b" — o, et pour les racines x{2l+,), xt2X^2} l'équation

où les coefficients a', a", a" seraient eux-mêmes racines de l'équation

a, |3, y étant commensurables; et il en serait de même des coefficients b . b", b".

Et ainsi de suite.

6° On fera le même raisonnement sur le troisième cas, où l'on suppose que la même équation ait lieu entre les racines x', x", x'",..., x (X) en y changeant x' en x", en xm\ car, si cette équation subsiste également entre les racines .r )"Ml, x"^2], .r""*"3',..., x{-'] , alors les racines x' , x" , x

dépendront de l'équation du troisième degré

x3 — a! x2 -+- b'x — c' = o, et les racines œa+v , xiXjr2\ x0+v (|e l'équation analogue

x3 — a!' x2 -4- b'x — c" = o, où les coefficients a' et a" seront donnés par l'équation du second degré

a2 — xa -T- j3 = o,

a et |5 étant rationnels; et il en sera ainsi des coefficients //, 6" et c', c". Par la même raison, si l'équation dont il s'agit subsistait aussi entre les racines a?(2VM), x(2l+2}, a?(aXrl~8),..., ,rr3)), on aurait de plus pour les trois racines ^(2)+,), ■r!2)'~H2), xl2l+3) l'équation

x' — a'"^2 + b"'x — c'" = o, ef les coefficients a , a", a'" seraient dans ce cas les racines de l'équation

a3 — xa2 -+- (3a — y = o,

du troisième degré

«, |3, y étant rationnels; il en serait de même des coefficients b', b", h et c', c", c'".

On voit assez par là les conséquences analogues que l'on peut tirer pour les autres cas; on doit seulement se souvenir que ces conclusions peuvent souffrir quelques exceptions dans les cas particuliers des racines égales 104 .

112. Pour éclaircir ce que nous venons de dire par quelques exemples, considérons d'abord les équations qu'on appelle réciproques, et qui sonl telles, que les coefficients des tenues èquidistants des extrêmes sonl égaux, de cette manière

m , h i t . . . i n > • dix 4- i -. o;

il est visible, par la l'urine de celle équation, qu'elle demeure la inenie

en y mettant - à la place de x; d'où il s'ensuit que si x' en est une racine, — en sera une aussi, de sorte qu'on aura x'x"—i, c'est-à-dire

x'x" — i = o ; par la même raison on aura x'"xlv— i = o, xyxvl — i — o,

On a donc, dans ce cas, une équation entre les racines x', x", qui subsiste aussi en changeant x en x", et qui a lieu de même entre les racines x'", xlv-, entre xv, xVI, Donc, ces racines seront renfermées deux

à deux dans les équations suivantes, dont le nombre sera — ou - — >

les coefficients a , a", a",... étant racines d'une même équation du de-

gré — ou 5 suivant que jjl sera pair ou impair, comme nous l'avons

déjà démontré par une méthode particulière (22). Voyez aussi sur ce sujet, outre les Miscellanea analytica de M. Moivre, le tome Ier des Commentaires de Bologne, et le tome VI des anciens Commentaires.de Pétersbourg.

Au reste on peut, par les principes établis ci-dessus, rendre raison

pourquoi la substitution de y = x -\ — que nous avons employée dans le

numéro cité doit conduire à une réduite du degré — lorsque /ut. est pair.

Car il est clair que les valeurs de y, c'est-à-dire les racines de l'équation en y seront

mais on a x' = —:, xIV = — ■•> ■ ■ ■ , donc ces racines seront

JH ;•) — -\- X , X ■+• — ^ J — -jf -1- X ,... ,

et par conséquent égales deux à deux; de sorte que l'équation en y, qui devrait être naturellement du degré \j., s'abaissera d'elle-même au de-

gre f-

On pourrait aussi employer une autre substitution qui abaisserait de même l'équation, mais en faisant disparaître toutes les puissances im-

paires de l'inconnue; c'est celle-ci x = — » laquelle donne y= ;

car alors les racines de la transformée en v seraient

c'est-à-dire (à cause de x" = -^> xiv = —■>

et par1 conséquent égales deux à deux, et de signes contraires.

113. Dans l'exemple précédent, c'est par la forme même de l'équation qu'on a reconnu la relation qu'il doit y avoir entre ses racines, et qui la rend susceptible de réduction; mais on peut aussi déduire cette connaissance de la nature même du Problême qu'on a à résoudre; c'est ce qu'il est bon de (aire voir par quelques exemples.

Soit proposé de trouver quatre quantités en proportion continue, dont la somme soit donnée ainsi que celle de leurs carrés.

Nommant ces quantités inconnues .r, y, r, u, on aura par les conditions du Problème ces quatre équations

xz = r2, yu = z2, x-hjr+z-hu a, x7 -t- r2 4 z' | // /» .

a et h étanl des quantités connues.

Pour éliminer plus facilement les trois inconnues y, z, u. el avoir une équation finale en x, je fais v rx, et j'aurai, par les deux premières équations, z /■-'.». u /'». valeurs qui, étant substituées dans les