III. r
deux dernières, donnent celles-ci
d'où il ne s'agira plus que d'éliminer r.
Pour faciliter cette élimination je multiplie la première par i — r, et la seconde par i — r2, j'ai ainsi
x(i — r4) = rt(i — /■), x2(i — r*) = 62(i— /-' ,
et, divisant cette dernière par l'autre, j'aurai
de sorte qu'on aura maintenant ces deux-ci
d'où il est facile de tirer
iab2 — (a2 ■+- b2 ) x
Si l'on substitue maintenant la valeur de /•, que donne la première de ces équations, dans la seconde, on aura une équation finale en x qui, étant développée, montera au cinquième degré; mais si l'on substitue la même valeur de r dans l'équation primitive
on en aura une en x qui ne montera qu'au quatrième, et qui sera l'équation la plus simple qu'on puisse avoir pour la détermination de l'inconnue x.
Je vais prouver maintenant, sans connaître même la forme de cette équation, qu'elle doit être décomposable en deux équations du second degi'é, moyennant une autre équation du second degré aussi.
Pour cela, je remarque que si, au lieu de chercher l'inconnue .r, on
eût cherché l'inconnue u, on serait tombé dans une équation semblable; car, faisant z = su, on aurait y = s2u et x = s[iu; de sorte que les équations en s et u seraient
u i -+- s + s2 -+• s3 i = - rt, «- ( i -+- s2 -+- s* -+- *e ) = b2,
c'est-à-dire entièrement semblables aux équations en x et r. D'où je conclus d'abord que la valeur de l'inconnue usera nécessairement aussi une des racines de l'équation en x trouvée ci-dessus.
Or, on a u = r'x, et, divisant la valeur de /'', trouvée ci-dessus, par celle de r, on a
iab2 — <a2 -h l>2)x
> a2 -f- b2 — ?.ax par conséquent,
iab2 — ( cï -\- (P i x '
a- -+- b- — ?.ax
Ainsi, si l'on dénote par x , x",x'",xlv les quatre racines de l'équation en x dont il s'agit, ces racines seront telles, qu'on aura
2 ab2 — ( a1 -+- b1) x'
a2 -h b2 — lax
c'est-à-dire
iax' x' — a2 + b' ) x' -f- x" ) -h 2ttb2 = o;
or, il n'y a pas plus de raison pour que cette équation subsiste entre les deux racines a;', a?" qu'entre 1rs deux autres x'", xlv; par conséquent on aura aussi
'tll'"x,v (l I Ir . x'"-i X'- ■+-2<lbt = 0.
Voilà donc deux équations semblables qui ont lieu entre les racines x , a et X . •/■", el qui sont de plus telles, qu'elles ne changent point eu changeant a?' en r et r en .rIV; donc, par le n° 1 1 1 , on pourra sûrement décomposer l'équation en questionsdu quatrième degré en deux autres du second degré, telles que
où les coefficients/' et/" seront racines d'une équation du second degré ainsi que les coefficients g' et g".
El comme ces deux équations doivent renfermer, l'une les deux racines x ', x", et l'autre les deux autres racines x'", xlv, on aura
f = x' -f- x", g' = x'x" , f" — x'" 4- x'% g" = x'"xx" ;
donc on aura
zag' — (a2 H- b2)f -+- i ab2 — o,
2 ag" — f a2 -+- b2 ) f" -+- 7ab2 = o,
d'où
(aJ+ b2) f'—zab2 g = — »
{a2+ b2) f" — 7ab2
De sorte que les deux facteurs de l'équation proposée seront
. {a2+b2)f'-2ab2
\ - , {a2 + b2) f" - 7ab2
Pour le faire voir et trouver en même temps l'équation dont les racines seront/' et/", il faut chercher d'abord l'équation du Problème en x. Or faisant, pour abréger,
on aura r~c — ex, et cette valeur, étant substituée dans l'équation
donnera, en ordonnant les termes par rapport à x, celle-ci
i + 3c . i+îc + 3c2 „ i -l- c -+- c2 + c3 a
Maintenant, à cause de
fl!+è! c , c2—i
= - et 62 = — — ,
ia e e1
les deux facteurs de cette équation seront
cf" i — c-
qui, étant multipliés l'un par l'autre, donnent
La comparaison des trois premiers termes de cette équation avec ceux de la précédente donne d'abord
/'+/" = el par conséquent
Et l'on trouvera que ces valeurs de/' ■+-/" el de/'/" satisferont aussi à la comparaison des autres termes.
Ainsi, les quantités /' cl/" seront les racines de cette équation
J'avoue qu'on peut résoudre le Problème précèdent «rnne manière plus simple, comme Newton l'a fait dans son Arithmétique universel!* où, ii l'aide d'un certain choix entre les inconnues, il parvient d'abord à deux équations du second degré; mais, d'un côté, il me semble que la
klk SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
solution que je viens de donner est en quelque façon plus directe et plus lumineuse, puisqu'elle fait voir la raison pourquoi l'équation du quatrième degré, à laquelle on est naturellement conduit, doit être résoluble au moyen de deux du second; et, de l'autre, la règle que Newton établit pour le choix des inconnues n'a point été démontrée par cet Auteur et ne peut l'être, si je ne me trompe, que par les principes généraux que nous avons établis ci-dessus. Mais ce n'est pas ici le lieu de nous étendre sur ce sujet.
114. On pourrait aussi, par la méthode précédente, résoudre avec la même facilité le Problème où l'on demanderait un nombre quelconque u. de quantités en proportion continue, dont la somme et celle de leurs carrés seraient données.
Car, nommant x le premier terme de la progression, et rx le second, on aura d'abord ces deux équations
x ( i -+- r -4- r2 -+- ;-3 -+- . . . -+- /'^-' ] = a. xl ( i + r2 -+- rA -+- re -+- . . . -+- r2^0) = b\
qui se changent en ces deux-ci
i(i-fi*) = a(i-r , x2(i— r2*) = bHi — r! ;
d'où l'on tire, comme plus haut,
à1 -+- b2 — iax
rn
iab'' -+- {a1 -4- b- \ x
(a2— b~ x La valeur de r, qu'on peut mettre, comme ci-devant, sous la forme
;•= c — ex, étant substituée dans la première équation, donnera celle-ci
x [ï -+- ( c — ex) -h (c — exf -+- ( c — ex)3 + ....+ ( c — ex :a l ] — a = laquelle sera, comme on voit, du degré (X.
On prouvera maintenant, par un raisonnement semblable à celui qu'on a fait plus haut, que le premier terme x et le dernier r^~{x de la progression continue devront être également racines de l'équation précédente; mais en divisant la valeur de H* par celle de r, on a
■?.ab2 — ia2-+- b2) x
x (a2+ b2 — ■zax)
donc
i ab2— (as+ b2)x
a2-\- b2 — nax
De là, en nommant x', x" , x'",..., a?(W les racines de l'équation précédente, on aura cette condition, entre les deux racines a?', x",
i ax'x" — [a1 -Y- b2) {x' -+- x" ) 4 ?- ab2 = o,
el comme il n'y a pas plus de raison pour qu'une telle relation ait lieu entre les racines x', x" qu'entre les racines a?'", rIV, ou ,rv, ,rVI, ou, etc.. on aura de même
2ax'"x,v — a2 -4- b2 1 (x"' -+- xlv) + 7.ab2 = o, 7.axvx"' — \a2 -+- b2) {xr -+- x"') -+• iab2 = o,
le nombre des équations étant " ou — — > suivant que p. sera pair ou impair.
D'où, et de ce qu'on a démontre dans le n° 1 1 1 , il s'ensuit que l'équation du \)}eme degré doit être décomposable en ou équations du second degré, telles que
dans lesquelles les coefficients/"', / . / seront racines (l'une même
Il ■ '>■ VI.. . .... ,
équation ou degré ou • ainsi que les roetiieients e , g , g , . . .
Et comme, à cause de
f' — x' + x", /"= X™ -\- XiV, . . ., g'—x'x'', g":=X"xxv,
on a
iag' — (a2 h- b2)f -+- ?.ab2 = o,
2ag"— (a2 -h b2)f" ■+- <zab2 = o, on aura
gr' =
(a2+b2)f'—iab2
(a2-hb2)f"—iab2
ia
de sorte que les — ou -•- facteurs de l'équation dont il s'agit seront
, „, {a2+bi)f'—iabi
, ... (a'-hb1) f"—iab2 x2 — / x -4- ^ = o,
', ,.„ {a2-+-b2)f'"—iab2
J ia
Dans le cas où i). est un nombre pair, le produit de toutes ces équations devra donner l'équation du degré fx trouvée ci-devant; mais, dans le cas où p. est un nombre impair, il faudra y ajouter encore un facteur simple, tel que oc — h= o.
La multiplication faite, il n'y aura plus qu'à comparer les premiers termes de l'équation résultante avec ceux de l'équation dont nous venons de parler, et cette comparaison donnera les valeurs des quantités
/'+/"+/'"+•••, fT+fr+rr-*--- ■■■■
qui seront les coefficients de l'équation en f\ et quant au coefficient h, dans le cas où u. est impair, il se trouvera donné par une équation linéaire.
De là il s'ensuit que le Problème proposé peut toujours se réduire à la
résolution d'une équation du degré — ou —
Au reste si, au lieu de déterminer l'inconnue as, on voulait déterminer l'inconnue r, on parviendrait à une équation du genre des réciproques; car les deux équations
donnant
on aura, en chassant ce,
i + r* ~~ b2 i -+- r ou bien, en divisant par i — r,
b2 d'où, en multipliant en croix el faisant, pour plus de simplicité, - c\
on aura
(c2 — i) r* + ic2( r*—x + r*~2 -h . . . I r ■ c2 — 1 = 0,
c'est-à-dire
équation réductible au degré " ou '-■ - par les méthodes connues.
Ce qu'il y aura de plus simple pour cela , ce sera d'employer la substitution de r— — *-, laquelle changera l'équation
en celle-ci
où toutes les puissances impaires de r disparaîtront d'elles-mêmes
115. Ajoutons encore un Exemple tiré de la Géométrie. Proposonsnous ce Problème très-connu, où il s'agit de mener par le point D du carré ACDB une ligne droite MN telle, que la partie MN de cette ligne, qui sera comprise entre les deux côtés opposés AC, AB du carré, prolongés en M, N, soit d'une grandeur donnée.
Nommant a le côté du carré et b la longueur donnée de la ligne MN, prenons, pour déterminer la position de cette ligne, l'inconnue CM = a?; on aura donc MD = \Jx'2 -f- a2 , et les deux triangles semblables MCD, M AN donneront sur-le-champ
x: nja2 + x2 = {a -+- x) : MN =(a-+x):b; d'où l'on tire l'équation
bx = (a + x) y/a2 -4- x1; laquelle, étant dégagée du radical et ordonnée par rapport à x, deviendra
b2)xï -+- ia3x -+- a' = o,
,ia'
qui est, comme on voit, du quatrième degré.
Voyons maintenant si, par la nature même du Problème, on ne pourra
p.is trouver quelque relation entre les racines de cette équation, qui la rende décomposable en des équations d'un degré moindre.
Pour y parvenir je remarque qu'on peut en effet mener par le point D quatre lignes qui remplissent la condition du Problème; ce sont les lignes MN, MN', M"N" et M'"N'"; de sorte que les racines de l'équation précédente seront les lignes CM, CM', CM", CM", dont les deux dernières sont, comme on voit, négatives.
Dénotons donc ces lignes par x' , x'I, x" ', xlv; et, à cause des triangles semblables MDC, DNB, on aura
