MC:CD = DB:BN

mais, puisque M'N' doit être égal à MN, que CD=DB, il est facile de voir qu'on aura aussi M'C = BN; donc on aura cette proportion

c'est-à-dire

On pourrait d'abord conclure, parle principe de la raison suffisante, qu'une pareille relation doit aussi avoir lieu entre les deux autres racines a . r'v; niais, si l'on voulait s'en convaincre à posteriori, il n'y aurait qu'à considérer qu'à cause de M"N" = N"'M"' on aura nécessairement aussi CM =BN"; et qu'ensuite, à cause des triangles semblables DCM", DBN",

on aura CM": Cl) DlUiN DBlCM", c'esl-a-dire

ei par conséquent

Puis donc qu'on a deux équations semblables, l'une entre .»• . x", l'autre en x'", x" , et que ces équations subsistent également en changeant

' en / . a en x", il s'ensuit des principes établis plus haut que l'équation du quatrième degré, trouvée ci-dessus, sera nécessairement décomposable en deux équations du second degré, telles que

où/' et/" seront racines d'une équation du second degré, ainsi que g' et g"; mais, puisque g'=x'x" et g""— a? xlv, on aura #•'=#"= a2; par conséquent les deux facteurs de l'équation dont il s'agit seront

Qu'on en fasse donc le produit, on aura

xi - (/'+/")**-+- (/'/" i-'afl'j-r2— «'(/'+/" : x -- a'^o; f -+-/" = — ?.a, /'/" -+- 2<z2 = ia? - b2;

de sorte que l'équation qui aura pour racines les quantités/' et/" sera

/'+ 2fl/- 62= o.

Au reste, il est clair que si, dans l'équation en x du quatrième degré, on fait x = az, on aura une équation en c du genre des réciproques, et dans laquelle on pourra, par conséquent, faire disparaître toutes les puis-

donc

par conséquent

sances impaires de l'inconnue en faisant s

; de sorte que la sub-

stitution propre pour cet effet sera de faire d'abord x = - Si l'on tire la valeur de y de cette équation, on a

mais on a

x s, o2 -+- < ~ Ml*

donc on aura

-MI) MN- -MI» iDR

tDR

MN Mv \l\

supposant que R soit le point du milieu de la ligne MN. De là on voit

DES EQUATIONS. V2t

qu'on serait parvenu d'abord à une équation du quatrième degré sans puissances impaires de l'inconnue, si l'on eût pris pour inconnue la ligne DR. C'est ce qu'a fait Newton dans la solution qu'il a donnée de ce

Problème dans son Arithmétique universelle ; mais on doit avouer, ce me semble, qu'un tel choix de l'inconnue est assez peu naturel, et que ce n'est, pour ainsi dire, qu'après coup qu'on peut le taire; du moins il me parait que le principe d'où Newton le fait dépendre n'a pas toute l'évidence qu'on est en droit d'exiger dans ces sortes de matières.