DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU

deux facteurs

i.2.3... 2 m — i - i ou i.2.3... 2m- i — i,

soit divisible par n; donc

sera nécessairement divisible par n.

Remarque I.

7. Les propositions des Corollaires précédents sont d'autant plus remarquables que, si n n'était pas premier, les nombres que nous avons vu devoir être divisibles par n, dans l'hypothèse de n premier, ne le seraient plus. Car, si n n'est pas un nombre premier, il sera donc divisible par quelqu'un des nombres 2, 3,..., n — 1 moindres que n: donc, si

était divisible par n, il faudrait qu'il le fût aussi par quelqu'un des nombres 2, 3, 4»---> n — I-' or c'est ce qui ne se peut; car le nombre r.2.3. . .{n — 1) étant divisible par chacun de ces nombres, il est clair qu'en divisant par un quelconque d'eux le nombre

on aura toujours l'unité pour reste.

On peut donc tirer de là une méthode directe pour reconnaître si un nombre quelconque impair n est premier ou non; il n'y aura qu'à voir si le produit continuel des nombres 2, 3, l\,..., n — 2, étant divisé par n. donne 1 pour reste, alors le nombre sera premier; sinon, il ne le sera pas. On peut encore simplifier cette règle en distinguant les deux cas où n est de la forme l\m -h 1 ou de la forme l\m — 1 ; dans le premier cas, le nombre n sera premier, si le carré du produit continuel des nombres 2, 3, 4»---> 2m étant divisé par n donne — 1 ou n — 1 pour reste; et dans le second, si le produit continuel des nombres 2, 3, 4»---< 2 m — 1 étant divisé par n donne 1 ou — 1 pour reste: sinon, n ne sera pas premier.

J'avoue au reste que cette méthode devient extrêmement laborieuse, et presque impraticable, lorsque n est un très-grand nombre; mais il peut y avoir des moyens d'en simplifier la pratique, et c'est une recherche à laquelle nous invitons les Géomètres.

Remarque II.

8. On pourrait déduire du théorème de M. Fermât une autre démonstration de celui de M. Wilson beaucoup plus simple que celle que nous en avons donnée ci-dessus.

Car, si l'on considère la suite des nombres naturels i, 2, 3..., n, élevés à la puissance (n —\)iè,"c, cl qu'on cherche la différence (n — i)"ime des termes de cette suite, il est facile de voir, par la théorie des différences, qu'elle sera

[n — ï [n— .' in — 3)

d'autre part, comme la série

est une série algébrique de l'ordre (n — \feme, on sait que la différence du même ordre sera exprimée par le produit continuel des nombres 1, ■>., },..., n — 1; ainsi l'on aura l'équation

Supposons maintenant qu'on divise le second membre de cette équation par //, et qu'on ne veuille tenir compte que du reste qui en proviendra; il est d'abord clair que le terme n"-1 donnera pour reste o, et que les termes n — i " \ [n a " ',... donneront tous l'unité pour reste. par le théorème de M. Fermât; donc, mettant à la place de ces termes