W4 DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVKM

leurs pestes o, i, r,..., on aura le reste total

OU bien

1 1 — 1 )"-' — 1 , c'est-à-dire — 1 ;

ainsi le reste de la division de i.2.3...(n — 1) par n sera -- 1, et par conséquent

sera toujours divisible par n, pourvu que n soit premier; condition nécessaire pour l'exactitude du théorème de M. Fermât.

Remarque III.

9. Avant de quitter cette matière, nous croyons devoir démontrer encore quelques autres théorèmes sur les nombres premiers, qu'on trouve aussi sans démonstration dans le même Ouvrage de M. Waring, et qui peuvent être de quelque utilité dans la construction des Tables des nombres premiers.

1 ° Si trois nombres premiers sont en progression arithmétique , leur différence doit être divisible par 6, à moins que l'un de ces trois nombres ne soit égala 3.

Tout nombre entier quelconque peut être représenté par l'une de ces

formules

6m, 6 m ±1, 6mdzi, 6m ±3;

les deux formules 6m et 6m ± 2 donnent tous les nombres pairs, et les deux autres 6m ± 1 , 6m ± 3 donnent tous les nombres impairs; mais la dernière, étant divisible par 3, ne peut représenter d'autres nombres premiers que le seul nombre 3; donc tout nombre premier sera ou 3 ou

( > nt ± 1 .

Cela posé, soient

les trois nombres en progression arithmétique qu'on suppose premiers; et en excluant d'abord le nombre 3 de la progression, il faudra que chacun de ces nombres soit de la forme 6m±i; d'autre part, il est clair que la différence a doit être un nombre pair, et par conséquent d'une de ces deux formes Gn ou 6n ± 2; soit donc, s'il est possible, a = 6n ± 2, et prenons d'abord p = 6m -m , on aura

p 4- a — 6 m 4- n ) 4- 3 ou = 6 ( m .4- n — 1

el

p — a = 6 (m — n) — 1 ou = 6 (m — n) 4- 3 ;

ainsi il est impossible que p 4 a et p — a soient à la fois de la forme 6fx ± 1; prenons ensuite p = 6m — 1, on aura

p -+- a = 6 /// -+- n ■+■ 1 ou = 6 (m 4- n) — 3

et

p — a = 6 [m — n) — 3 ou = (i ( m — // -+- 1 ;

d'où l'on voit que p -+- a et p — a ne pourront pas être ii la fois de la forme ()// d= 1; donc il est impossible que a soit de la forme 6n ± 2; par conséquent il faudra que a soit toujours de la forme (>//, c'est-à-dire divisible par G.

Si l'on voulait admettre le nombre 3 pour un des termes de la progression, alors la différence pourrait élre de la forme 6n± 2. Supposons d'abord que 3 soil le premier terme de la progression: le second se trouvera de la forme 6n± 2 4- 3 ou (i/i±i, et le troisième de la forme 12/? ± L\ 4- 3 ou 6/1 ± 1; ainsi ils pourront être tous les trois premiers: mais si l'on y en ajoulail un quatrième, celui-ci ne pourrait jamais être premier, car sa forme serait [8«±64-3, qui est divisible par 3. On pourra, par exemple, formel' ces progressions de trois termes 3, 5, 7. ou 3, 7. 1 1 , OU 3, 11, i<), etc.; donc les différences ne seront pas divisibles par 6\ mais ces progressions ne pourronl jamais aller au delà de trois termes.

Si l'on prend 3 pour le second terme de la progression, alors le premier ne pourra cire que 1 . et le troisième sera 3 : dans ce cas. on v pourra