G DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU

ajouter un quatrième terme qui sera 7; mais on ne pourrait pas aller au

delà, parce que le suivant 9 ne serait plus premier.

On ne pourrait pas prendre 3 pour le troisième terme, car les deux premiers ne pourraient être alors que 1 et 2; or celui-ci peut n'être pas regardé comme un nombre premier à cause qu'il est pair.

2" Si cinq nombres premiers sont en progression arithmétique, leur différence doit être divisible par 3o, à moins que 5 ne soit l'un des termes de cette progression.

Nous avons déjà vu que tout nombre premier doit être 3 ou 6m ± 1 ; nous avons vu de plus que, si 3 est un des termes de la progression arithmétique, il est impossible qu'elle ait plus de quatre termes qui soient des nombres premiers; donc il faudra que les cinq termes de la progression proposée soient chacun de la forme 6m± 1. Or, m pouvant être un nombre quelconque entier, il sera nécessairement d'une de ces formes

5 \j., 5 [j. dz 1 , 5 y. ± 2,

qui renferment évidemment tous les nombres possibles; donc, substituant ces formules à la place de m, on aura les suivantes

3o(j. ±1, 3op. ±5, 3o[xzzzr], 3oy.±n, 3oy.ii 3,

dont la seconde ne peut donner d'autres nombres premiers que 5; de sorte qu'en faisant abstraction, suivant l'hypothèse, du nombre 5, il faudra que les cinq termes de la progression soient renfermés dans ces quatre formules

3o(j. dzi, 3oy. ±7, 3op. ±ii, 3o7. ihi3.

Maintenant nous avons déjà vu que la différence de la progression ne peut être que de la forme 6n; or n peut être aussi de ces formes

5v, 5v =t 1, 5vdt 2;

donc la forme 6n se réduira à celles-ci

3ov, 3ovdz6, 3oy±i>.

Donc, si l'on désigne par

p — ia, p — a, p, p -+- a, p + 2a,

les cinq termes en progression arithmétique qu'on suppose être premiers entre eux, ces termes devront être tous de ces formes

3ou±i, 3op.±7, 3ofz±ii, 3ou=fci3,

et la différence a ne pourra être que de celles-ci

3ov, 3ov±6, 3ovd~i2.

Supposons d'abord p de la forme 3oa -1- 1 , et soit, s'il est possible, d de la forme 3ov ± G, on aura

l> -• - a io y. ■+- v) ■+■ 7 ou 3o ( {j. -+- v . — 5,

p -+- ia = 3o {p. -+■ 2v) -+- 13 ou 3o u. -j zv) — 1 1 ,

p — a 3o f* — v) — 5 ou 3o (fx — v) + 7,

p— 2a: 3o(/x — 2v) — 11 ou 3o(f* — 2v) -4 i3;

d'où l'on voit qu'il est impossible que les cinq nombres p, p -h a, p -+- 2 a, p — a, p — ?.«

aient à la fois les formes requises.

On trouvera la même impossibilité en prenant les autres formes de />; d'où l'on conclura d'abord que a ne saurait être de la forme 3ov <>: on supposera ensuite a = 3ov ± 1 a, et, examinant successivement huiles les formes de />, on verra aussi qu'aucune d'elles ne pourra donner pour les autres nombres

les formes requises; d'où il s'ensuit que la différence a ne pourra jamais être ni de la forme 3o v 6, ni de celle-ci 3ov 1 >.\ par conséquent elle devra être nécessairement de la forme 3ov, c'est-à-dire divisible par 3o. Si l'on ne veut pas exclure le nombre 5 de la progression, il est d'abord clair que ce nombre ne pourra être pris que pour le premier terme, puis-