DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU, ETC

que la différence des termes devant être divisible par 6 ne pourra pas être moindre que (>; or, prenant 5 pour le premier terme, et faisant d'abord la différence égale à 3ov ± 6, on aura pour le second terme la forme 3ov ± 6 -+- 5, ou bien 3ov -f- 1 1 ou 3ov — i; pour le troisième terme les tonnes 6ov±i2-h5, ou bien 3ov — 13, ou 3ov— 7; pour le quatrième, les formes 90V ± 18 -f- 5, ou bien 3ov — 7, ou 3ov — 13; et pour le cinquième, 1 20 v ± 24 -+- 5, ou bien 3ov — 1 . ou 3ov + 11. Ainsi tous les cinq termes auront les formes requises et pourront par conséquent être premiers; mais si l'on voulait y en joindre un sixième, alors on aurait la forme i5ov±3o + 5, qui, étant divisible par 5, ne peut pas donner des nombres premiers. On trouverait des résultats semblables en adoptant la forme 3ov ±12 pour la différence de la progression : d'où l'on doit conclure que si 5 est le premier terme de la progression, alors il pourra y avoir cinq nombres premiers en progression arithmétique, et dont la différence ne soit pas divisible par 3o, mais qu'il ne pourra jamais y en avoir plus de cinq.

On aura, par exemple, les nombres 5, n, 17, 23, 29, ou 5, 17, 29, 4i, 53, etc.; mais les sixièmes termes 35, 65, etc., ne seraient plus premiers.

3° On peut démontrer par une analyse semblable que, si sept nombres premiers sont en progression arithmétique . leur différence sera nécessairement divisible par 2.3.5.7, (( m°ins aue 7 ne so'f I£ premier terme de la progression, auquel cas il ne pourra jamais y avoir plus de sept termes dans une progression dont la différence ne serait pas divisd>le par 2.3.5.7, e* ainsi de suite.