III
puissances positives et les différentielles, et les puissances négatives et les intégrales, ne soit pas évident par lui-même, cependant, comme les conclusions qu'on en tire n'en sont pas moins exactes, ainsi qu'on peul s'en convaincre à posteriori, je vais en l'aire usage dans ce Mémoire pour découvrir différents Théorèmes généraux concernant les différentiations et les intégrations des {'onctions de plusieurs variables, Théorèmes dont la plupart sont nouveaux, et auxquels il serait d'ailleurs très-difficile de parvenir par d'autres voies.
C'est une espèce particulière de calcul qui me parait mériter d'être cultivée et qui peut donner lieu à beaucoup de découvertes utiles et importantes dans l'Analyse; l'objet principal de ce Mémoire est de donner plusieurs ouvertures pour cela, en montrant les règles qu'on doit suivre dans ce calcul et la manière de l'appliquer à différentes recherches: mais je crois devoir commencer par établir quelques notions générales cl préliminaires sur la nature des fonctions d'une ou de plusieurs variables, lesquelles pourraient servir d'introduction à une théorie générale des fonctions.
I. Si m est une fonction quelconque finie d'une variable x, qu'on y mette x -+- 2 à la place de x, et que par la théorie connue des séries on dégage la nouvelle variable ç de la fonction, on sait que u deviendra de cette forme
u + pl -h p' l* + p" ï* + pm l* + . . .,
où />, p', //',... seront de nouvelles fonctions de x, dérivées d'une certaine manière de la fonction u.
•1. Si u est une fonction de deux variables r, y, qu'on y mette x -h q à la place de x, y +■ <b à la place de y, qu'ensuite on dégage les quantités £, (J> par le moyen des séries, la fonction u deviendra de la forme
-+- p! ça -+- q' t 4* + ''' 4'
À LÀ DIFFERENTIAT10N ET A L'INTEGRATION. U3
où p, q, p , q\ r , p", q",... seront de nouvelles fonctions de x, y dérivées d'une certaine manière de la fonction //.
De même, si u était fonction de trois variables x, y, z, en mettant a?-t-§, y -h }, z -+- 'S, a la place de x, y, z, et développant par les séries, cette fonction deviendraif.de la forme
- />' l; 4- q' \ <\ H- /'' '];•' + a' £Ç -f- (3' <j/ ? -f- y' Ç! + />" ; + q "^ 4> -+- r" £ ip' -4- S" ip3 -f- a" ï i:j + . . .
cl ainsi de suite, si la fonction // renfermait quatre variables, ou cinq, etc.
3. Le Calcul différentiel, considéré dans toute sa généralité, consiste à trouver directement, et par des procèdes simples et faciles, les fonctions p, p\ p" q, q , q" r,r',r",... dérivées de la fonction u: et
le Calcul intégral consiste ;i retrouver la fonction // par le moyen de ces dernières fonctions.
Cette notion des Calculs différentiel et intégral me parait la plus claire et la plus simple qu'oïl ait encore donnée; elle est, comme on voit, indépendante de toute métaphysique et de toute théorie des quantités infiniment petites ou évanouissantes.
'«. Considérons plus particulièrement le cas du n" 1, où // est supposé
une fonction de x seul , et voyons comment les fonctions //, p. p , p"
dépendent les unes des autres.
Puisque la fonction //, en \ mettant x + S à la place de x, est devenue
// + pi -f- //;- h />' i* +. . .,
si dans celle dernière fonction on met de nouveau x -h >,> à la place de x,
il est clair qu'elle deviendra de la forme
Il • j) M //''., jl ',, ' //''.,' »...
/> • ttîm -+- p'<>' -+- aw1 -+-... \
-(-i// • eKo) -\ p'u1 4- o-'m-1 -+- . . .
// a '■• p"wJ 4- t" m3 h. . .
où 7S, p, a,... seronl dos fonctions de x dérivées de la fonction p de la même manière que p, p , p",... le sont de la fonction u, et rs', p', ?',... seront des fonctions dérivées de même de la fonction p', et ts" , p", n" ',... des fonctions dérivées de p", et ainsi des autres.
D'un autre côté, il est facile de voir que l'expression précédente ne sera autre chose que ce que devient la fonction u en y mettant à la fois ce + 1 + m à la place de x, ou bien ce que devient l'expression
u -+- Pi + p' l2 + p" l1 + />'"£' -+- • • • en y mettant | -+- co à la place de §, c'est-à-dire
« + />(£ + »)-)- /?'(£-+- o) ;- + />" ( g + af -+-
Or, en développant les puissances de £+ w et ordonnant les termes, on aura
-+- (/> + 2/>'w -f- 3/>"oj2 -+- 4/>'"w'1 +•
-4- (/?' + 3p"f.) -4- 6p'"u2 -+■ io/>IV&)3 + .
-+- (/?" + 4/>"w + IO/?IVw2 H- 2O^v0)3 +.
Donc, comme cette formule doit être identique avec la précédente, on
aura
ro = op', p = 3p", cr = 4/)'", . . . ,
57':= 3//', p' = 6/>", 0-' = lOpl\. . .,
m"=^p'", p"=io/?IV, <r"=2opv
Donc
Or, de la même manière que /? est dérivé de u, -es l'est de />, vs' l'est de/?', sr" l'est de/?", et ainsi de suite; donc, si l'on fait /? = u , et qu'on désigne de même par m" une fonction dérivée de u' de la même manière que u' l'esl de //, et par u" une fonction dérivée de même de u", et ainsi de suite, on
A LA DIFFERENCIATION ET A L'INTEGRATION. VV5
aura
u" p=zu', xn = u", donc />'= — ■>
donc cj'= — ? donc »"= — =•>
donc us"= — r,i donc »'":= — ^—t, 2.3 r 2.3.4
Ainsi la fonction w deviendra, en mettant x-\-\ à la place de ce,
où les fonctions u, u', u", u", ulv,... dérivent l'une de l'autre par une même loi, de sorte qu'on pourra les trouver aisément par une même opération répétée.
5. Si maintenant on suppose que u soit une fonction de deux variables x et y, et qu'on cherche ce qu'elle devient en y mettant à la fois .r-+-| à la place de xety-\-^ a la place de y, on fera d'abord la première de ces deux substitutions, ce qui réduira la fonction u à celle-ci ( ï
ensuite on fera la substitution de y -h 6 à la place de y dans les loue lions u, u', u", u ,..., et elles se changeront, savoir
, . w'ût7 w"-l
u ci) « -+- w 4/ ^ z — 1 :, > ....
, , 1 " '\: "'' ty u en u -+ w ai -+- 1 . . . ,
11 '■l 11 il
// en // +ir|l*+- — ~ ...
Ainsi la fonction // deviendra, après les deux substitutions dont il s'agit,
«'"£3 w"-'£24> u''"l'l- w'"<Ls
Les accents qui sont avant la virgule se rapportent au changement de x en a? -h |, et ceux qui sont après la virgule se rapportent au changement de y en y-\- ty.
En général, si a est une fonction de a?, y, z, / et qu'on y mette, à
la place de ces variables, x -\- %, y -\- ty , z -ht, / -h S la fonction dont
il s'agit deviendra u plus un nombre indéfini de termes, tels que
uM'W-W-M—- £i* <]/' l™ Qi. . .
i . 2 . 3 . . . p. X r . 2 . 3 . . . v X f . 2 . 3 . . . gj X i • ^ . 3 . . . p X . . .
/, v. ar, p étant supposés successivement o, i, 2, 3
6. Puisqu'en mettant x-h% à la place de x dans u. cette fonction devient
si Ton regarde S comme infiniment petit et qu'on néglige les puissances £2, £3,..., on aura simplement u!\ pour l'accroissement de u\ de sorte que, désignant cet accroissement par du% et l'accroissement | de ' par d.r. on aura
j / 1 , du
du = u dx el m = -r- ; tf.r
ainsi, pour avoir la fonction u', il n'y aura qu'a chercher la différentielle du par les règles du calcul des infiniment petits, et la diviser ensuit»' par la différentielle dx.
A LA D1FFERENTIATI0N ET A L'INTEGRATION. ïkl
a 4, i du ,
Avant u = -y-, on aura de même dx
du . d2u
„ dx d2u dx2 d3u
Il ; r= -j i U = 5 —, — — 1 • • • \
dx dx* dx dx3
de sorte que x devenant x -+- %, la fonction u deviendra
du d'u l2 d3u l3
dx ' dx' i d x3 t. . 3
où du, d2u, d3u,... désignent les différences première, seconde, troisième, etc., de u prises en faisant varier x de la différence infiniment petite dx.
Ce Théorème est connu depuis longtemps, et \1. Taylor en est, si je ne me trompe, le premier Auteur; on peut le démontrer de différentes manières; la précédente me parait une des plus simples.
7. Si, au lieu de faire varier x, on fait varier y dans la supposition que u soit une fonction de x el de y, on aura de même
du -.
= w'dy,
le la
du
le
Par le
même
principe on aura
, , du
, du
(Il (Pu
dy il.i (ly
du d- u indique la différentielle seconde de w, en taisant varierd'abord .> . ensuite v; or, comme les variations de .r el de y sont indépendantes l'une de l'autre, il est facile de comprendre qu'on aura également
du
du (h d'u
di il i drda
où d2u exprime maintenant la différentielle seconde de u prise en faisant varier d'abord jet ensuite x, de sorte qu'on aura
dxdy dydx
ce qui montre qu'il est indifférent dans quel ordre soient écrites les différences dx, dy. En général donc on aura
dx* dy
où dv^'u indiquera la différentielle (u. -+- vf"te de u prise en faisant varier \j. fois x elv fois y, quelque ordre qu'on suive d'ailleurs dans ces variations; de sorte qu'il y aura autant de manières différentes de trouver
la valeur de -z — -7-7 qu'il y aura de permutations entre deux choses différentes répétées l'une \x fois, l'autre v fois; or le nombre de ces permutations est, comme on sait, égal à
Et si u est une fonction de plusieurs variables x, y, z, t,..., on aura
dx^dy'dz^dtK
et cette fonction pourra se produire d'autant de manières différentes qu'il y aura de permutations entre différentes choses dont l'une serait répétée f/. fois, l'autre v fois, la troisième rz fois, la quatrième p fois, etc.; en sorte que par les règles connues le nombre dont il s'agit sera
i.2.3.4.5...(/a-t-v-t-sï-t-p+...) i.2. 3. ..p. Xi.2.3...vXi.2.3...crXi.2.3...pX...
lequel est aussi le coefficient du terme x^y^z^fi... dans la puissance
