A LA DIFFÉKENTIATION ET A L'INTÉGRATION

8. De là et de ce qu'on a dit dans le n° 5 il s'ensuit que, si dans une fonction u d'un nombre quelconque de variables x, y, z, t, . . . on met x-\-%, y-*r'\>, z-f-Ç, t-\-B,... à la place de ces variables, la fonction proposée sera augmentée d'un nombre indéfini de termes représentés chacun par

i.2.3. . .p. x i.2.3. ..vXi.2.3...inXi.2.3...pX. ~ " dxv-dy*dza(lï<. . . ' ou, ce qui revient au même, par

M H1* <]/' ?" 0f . • • „ rfH-v+'T+H---«

i .2.3. . .(p -f- v -+- nj -+- p -t- . . .) . dx^dy^dz^dt?. . . '

M étant le coefficient du terme ocP ys V3 t* '. . . dans le polynôme

x-\-y-hz + t-h...

élevé à la puissance

Ainsi, pour avoir aisément les différents termes qui doivent composer l'accroissement de la valeur de la fonction u lorsque x, y, z , /,. . . deviennent a? -H %, y-hty, z-h'Ç, 1-+-9,..., il n'y aura qu'à considérer la série

x-+-y-hz-i-t-+-...

et, après avoir développé les puissances de x -\-y -\ z » /^...,(»u chan-

géra, dans chaque terme, .r en 7 -■> y en j-> - en 4 » / en -?-■> ■ • -, et I on

multipliera le même terme par <l' u, l'exposant de la différentiation / étant égal ii la somme des exposants de r, y, s, /.. . . dans le même terme. III. 5?

Or on sait que

= H 1 1 = -j-...)XH-- + - h -£-= 4-. ..

Par conséquent il n'y aura qu'à taire le produit de ces différentes séries et changer ensuite chaque terme comme nous Pavons dit ci-dessus.

9. De là il est facile de conclure que si l'on considère l'expression

du . du , du r ed.r dy dz j

et qu'après l'avoir développée suivant les puissances de du, on applique les exposants de ces puissances à la caractéristique rfpour indiquer des différences du même ordre que les puissances, c'est-à-dire qu'on change du' en d'u, on aura l'accroissement cherché de la fonction u lorsque x, y, z,... y deviennent a? + 2, y -+- <h, z -i- Ç,....

Ainsi dénotant cet accroissement par lu, on aura la formule générale

du . du , du „

ùs.u = edx '^ dz — i.

10. Maintenant, comme lu exprime la différence première finie de //, si Ton dénote de même par A2 m, A3 m,... les différences finies de u des ordres ultérieurs, on pourra trouver la valeur de chacune de ces différencesen ne faisant qu'élever l'équation précédente au carre, au cube, etc.. et y changeant ensuite les exposants des puissances en exposants des différences.

De cette manière on aura donc, en général,

(dit . du , du y \ "*.

,,,/, ■•"T/r -^di^ — i ) ,