A LA DIFFÉRENTIATION ET A L'INTÉGRATION
et il ne s'agira plus que de développer le second membre de cette équation de la manière que nous l'avons dit à l'égard de celle du numéro précédent.
Mais il y a plus : on peut supposer que l'exposant X devienne négatif, auquel cas l'équation subsistera également si ce n'est que les différences qui auront un exposant négatif devront être censées changées en sommes
du même ordre. Ainsi désignant, comme à l'ordinaire, par j les sommes
ou les intégrales ordinaires, qui répondent aux différences infiniment
petites marquées par la caractéristique d, et par V les sommes finies qui
répondent aux différences finies marquées par la caractéristique A, on aura
rf-=f» r/-2=r,.-.,
et de même
et l'équation précédente deviendra, en faisant X négatif, ou bien incitant — X à la place de X, et par conséquente A ';1 place de A\
(thi fin , di> ., \ /
On traitera le second membre de celle équation d'une manière semblable a celle que nous avons prescrite ci-dessus. Quoique l'opération, par laquelle nous avons passé de la différence Au
ii la différence A'// et il la somme V //. ne BOil pas fondée sur des principes clairs et rigoureux, elle n'en est cependant pas moins exacte, comme on peul s'en assurer à posteriori; mais il serait peut-être très-difficile d'en donner une démonstration directe et analytique; cela tient, en général, a l'analogie qu'il y a entre les puissances positives el les différen-
tiations, aussi bien qu'entre les puissances négatives et les intégrations; analogie dont nous verrons encore d'autres exemples dans la suite de ce Mémoire.
1 1. Supposons que u soit une l'onction de x seul, on aura dans ce cas
du du
dy dz
par conséquent
(,lu , \ A
Considérons donc l'expression (ew — i)x, et voyons comment elle peut se développer en une série réglée sur les puissances de w. Il est d'abord clair que, si l'on fait w très-petit, on aura ew — i = w, d'où il s'ensuit que le premier terme de la série sera nécessairement wA. Supposons donc
(e°— i)x — (ùx{i +Aa + B«2-+- Cw3-hDco4 + . . .),
et, prenant les logarithmes de part et d'autre, on aura
^logle" — i) — Xlogw = logfi + Am -l- Bco2-h Ce»' 4- Dm1 +. . .),
et différentiant
&■' i\ A -+- ?.Bw -+- 3Cw2 + 4Dw3
'— i ~~ m) ~~ 7+ Aco -4- Bm2+ Cm3-+- Dm4
or
donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, on aura
M - + — =-7 — . . . ) ( i -+- A u -+- B w2 -+- Cf.)3 + . . . )
A -I- îBm + 3C&)'-t . . . 1,
