A LA DIFFÉRENCIATION ET A L'INTÉGRATION

c'est-à-dire

d'où, en comparant les termes, on aura

Avant ainsi déterminé les coefficients A, lî, C on mettra , £ à la

place de w, et changeant les puissances de cfo en des différentielles de //. on aura, en général,

ds» * ,/*'<•' • H dx»* * dx^ u

Cette formule servira donc à trouver immédiatement la différence d'un ordre quelconque d'une fonction quelconque de x lorsque x augmente successivement de g, xi, '\\ et cela au moyen des différentielles ordinaires; ce qui peut être d'une grande utilité dans la théorie des séries.

Faisons maintenant ) négatif, c'est-à-dire mettons /. à la place deX, pour changer les différences en sommes, et l'on aura dans ce eus

.,. \ udx) l' udx^-* f *u<lxx-* l' iu/.i' 2," -çr- *' p -t-P'— -y'- çr-r-

où

;/.-3iy (X — 2)8 (X — i)a X

Si X = 1 , on aura donc

f udx du „ d-u .„ . dsu „

parce que

r~' , du T~3 .

C'est la formule connue pour trouver la somme d'une série dont on connaît le terme général.

En effet soit u = o (x), on aura, par la nature des sommations,

donc, si suivant la notation reçue on fait

/' , s j v / do x , d2o[x)

o x dx = '<p(x), ' — 9' ( x , * = 9 (a?),...,

on aura

yQ { X 1

Si maintenant dans cette formule on écrit x — n% à la place de x, on