Reprenons l'équation du n° 10, savoir
//// . du . tin „
Au = e'/I ''■' ll: - 1;
elle donnera celle-ci
du ., du du djt+dï*+dïKM :1°8 ' ' A""
• m il faudra, après avoir développé le logarithme log 1 • A// suivant
les puissances de A//, appliquer les evposanls de ces puissances à la caractéristique A. De celte manière on aura donc
du , du , du „ . a n \ n y n
ce (iui donne un moyen de trouver les valeurs de -7-1 -j-->- ■ à l'aide des 1 « dx dy
différences finies de la fonction u.
Mais ce n'est pas tout : on peut également élever les deux membres de
l'équation à une puissance quelconque >,, positive ou négative, en sorte
qu'on ait
(du .. du . du ., V ri k v
Kdlc^T^ + dz^---) =[log(« + A«)]\
et cette équation sera toujours vraie pourvu qu'après le développement des deux membres suivant les puissances de du et de Au, on change les puissances positives en différences, et les négatives en sommes.
Pour cet effet, considérons la quantité [log (1 -+- «)]\ et voyons comment elle peut se développer en une série qui procède suivant les puissances de ù>. Il est d'abord clair que si w était très-petit, on aurait log (1 -+- w) = w, d'où il s'ensuit que le premier terme de la série dont il s'agit sera w\ et qu'ainsi elle aura cette forme
w*(i -1- Mm +Nûj2 + Pw3-r-Qco4-r-. . .). Supposons donc
[log(i -<- «)JA= wx(i + Mm h- N&)2-t- Pm3 + , . .),
et, prenant les logarithmes de part et d'autre, on aura
à [log. log (1 -t- m) — log«] = Iog(i + Mm + NM2-r- Pw3-r-
d'où l'on tirera par la différentiation
T 1 i~| M -4- 2Nm + 3Pm' -+- 4Qm3 -t- ■ • ■
[(i -hM)log(n-M) m J " 1 + Mm + Nu!+ Pm3-i-Qm4 -+-... '
Or
tùs M3 M4
donc, multipliant cette série par i-hw, on aura
(i-f-M)log(H-M) = M+--^3 + 3^-^+...,
A LA DIFFÉRENTIAÏ10N ET A L'INTÉGRATION. km
donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, il viendra
/ <*> W2 M3 \ », »t or.
= 14 5 -4-3-T— ... ] (M + îNm + 3Pû)2-h... .
c'est-à-dire
», / xt M\ /„ 2N M
De sorte qu'en comparant les termes on aura 11= - 2N = -
Connaissanl de cette manière les coefficients numériques M, N, P,..., on
aura donc
[logn-A//j' \ n VIA'-'u -, -N A'- •'«-+-
ce qu'il faudra substituer dans l'équation ci-dessus.
13. Soit, comme dans le n" 1 1 . u une fonction de x seul : alors l'équation doni il s'agit deviendra
savoir
ce qui donne le moyen de trouver la valeur de la différentielle d'un ordre quelconque de la fonction u à l'aide des différences finies de la même fonction.
Or, si dans la même formule on fait >. négatif, c'est-à-dire si l'on y met — X à la place de X, on aura, en changeant les différences en sommes,
f udxK
ou les coefficients p., v, w,... seront déterminés par les formules su i
vantes
Si l'on fait X = r , on aura donc
fudx „ ^— = — = \« -+- p. « + v A M H- CT AD « + x A3 « -+- .
formule qui peut servir à calculer les aires des courbes par les sommes et les différences des coordonnées équidistantes. Cotes, Stirling et d'autres ont déjà donné des formules pour calculer l'aire d'une courbe dont on connaît un certain nombre de coordonnées équidistantes; mais la formule précédente est différente de celles de ces Auteurs, et me parait préférable en ce qu'on y emploie les différences successives des coordonnées, lesquelles vont ordinairement en diminuant, et surtout en ce qu'on y voit aisément la loi des termes, de manière qu'on peut continuer la série aussi loin qu'on veut.
A LA D1FFÉRENTIAT10N ET A L'INTEGRATION. 459
Pour donner un exemple de l'usage de cette formule, soit proposé de trouver l'intégrale de ■—■> qu'on sait d'ailleurs être égale à loga?; on
aura donc dans ce cas u = — ) et faisant, pour plus de simplicité, ? - 1 , on aura
