CT

x(x-hi) (x-\-2.) U- + 3) x (x -h i) (x -{- 2) (x -h 3) {x -t- ^) c'est-à-dire

log II '

14. Nous avons vu que toute fonction u de plusieurs variables x, y, z,... devient u-\-Au lorsque ces variables deviennent x-\-£, y-l-ty, z ■+- Ç, . . . , où l'accroissement Aw est déterminé par la formule

tltt „ dit , tiit .,

^« — e''-»' rf> <'~ !,

A LA DIFFERENTIATION ET A L'INTEGRATION. 461

De même, si l'on suppose que les variables x, y, z,... deviennent .r ' |', y -+- '}', z ■+- Ç, . . . , g', <y, £', . . . étant des quantités différentes de |, <\>, Ç, . . . , et qu'on désigne par A'a l'accroissement correspondant de //, on aura

J;/ -, du . , •/// „,

A'u = edx <*y <>• —i.

Or la première équation donne, comme on l'a déjà vu plus haut,

du ., du , du u Iog(. + A«.)=sç+^: + + s.Ç+...,

et comme les quantités |, 6, £,... sont indépendantes les unes des autres, il est clair qu'en supposant d'abord ^ = o, Ç = o, . . . , on aura

sÇ = log(« + A«)f

où Au désigne l'accroissement de u qui a lieu tandis que a? seul croît de |; de sorte qu'en désignant cet accroissement partiel de u par A?w, on aura

</m log (i + A|«)

De même, si l'on désigne par Aj,k, Ar//,... les accroissements partiels de // qui ont lieu lorsque v, ;.... deviennent chacun à pari y-\-<l>, z -+- Ç, . . . , on aura

*/" lof; i-i-Ai» '/'/ Iop i + Aça) dy ~ (j; "^ ?

Ainsi l'on aura

,1 • ' il y ^ dz

= ':. log i'A// i- log i I \.u • — log i-t~A;// ■+-...

log i A // i I A. // • 1-4- AçM)ç . . . .

Dont

du . (In du y c' y' '.

e'r' ' ' " ,7> ' ' Tz ' i - - A: M ^ 1 -h Ai U ï I -r A; H -~

El par conséquenl

A' tt = ( i 4- A: k)ç • i - Ai «)+ (i -+- A: «)ç . . . — i,

équation par laquelle on pourra déterminer la valeur complète de la différence A'w de la fonction u lorsque les variables x, y, z,... y croissent en même temps de £', <J»\ Ç',..., au moyen des différences partielles A?«, iX.iU,... de la même fonction, lesquelles résultent lorsque les variables x, y, s,... croissent séparément des quantités |, -}, Ç

Pour pouvoir faire usage de cette équation il faudra développer les puissances de 1 + A^m, i-hl^u,... et le produit de ces puissances, suivant les puissances de Au, ensuite on appliquera à la caractéristique A l'exposant de la puissance à laquelle la quantité Au se trouvera élevée, et l'on multipliera ensemble les quantités qui se trouveront au-dessous de la lettre A; ainsi par exemple (A^m)2 donnera A^u, ce qui indiquera la différence seconde de u prise en faisant varier x seul successivement «le £; mais \<-cu x A.^u donnera A^w, ce qui indiquera de même la différence seconde de u, mais prise en faisant varier d'abord r de B, et ensuite y de y, et ainsi des autres. La raison de cette opération est facile à apercevoir par la nature de notre calcul.

On pourra aussi tirer de là la valeur de la différence d'un degré quelconque, et pour cela il n'y aura qu'à élever les deux membres de l'équation à une puissance dont l'exposant soit le même que celui du degré de la différence; de cette manière on aura, en général,

A" u = L(i +- Ar u ; ' i -+- A4, // 1* (1 + Aç M)1* • • • — « J .

et, changeant ) en — X, on aura aussi

[l I -+- Aj U ); ■ I -+- A.: // |+ i -h A; Il r

A LA DIFFÉRENTIATION ET \ L'INTEGRATION. 463

où il faudra développer le second membre de la manière que nous l'avons dit ci-dessus.

15. Les formules précédentes renferment la théorie des interpolations prise dans toute la généralité possible; par exemple, supposons d'ahord que l'on ait une fonction u de x seul, dont on connaisse les différentes valeurs lorsque x devient successivement x ■+- %t x-h 2?, x-\- 3£,..., et qu'on demande la valeur de la même fonction lorsque x devient x -+- |'. |' étant une quantité quelconque. On aura donc dans ce cas 6 = 0, Ç = o,..., et par conséquent

A'« = . 1 1 + àiu'y- 1.

Or la puissance (1 -+- H^uf étant développée suivant la méthode ordinaire donne

I+£ MH C(C-*W+ctc-B.(g-'*W+....

Donc, changeanl A://,2 en Af»«, \iuf en Ar3,« et ainsi de suite, on aura

c'est l'accroissement que doit prendre la fonction u lorsque x devient égal ii x i' \ de sorte que la valeur de la fonction u répondante à x + §' sera exprimée par la série

Ainsi, si l'on a une série dont les termes successifs soient exprimés pai une même fonction de x, x-\- î. X-\ y.ç. X \Z,..., la formule précédente donnera la valeur d'un terme quelconque intermédiaire répondant à x -h |', en prenant pour u le terme répondant à x, pour a; // la différence entre les deux ternies repondants à ,r -4 £ et .»-, pour \{ . // la diffé-

rence seconde entre les trois termes répondants ;i x >.\. x + £. » . el

ainsi de suite.

16 Supposons maintenant que u soit une fonction de deux variables x et y, on aura dans ce cas, en faisant Ç' = o,...,

A'tt — (i + A:«j5 (i -H A.; «)* — I.

La quantité (i -+- à*cuf donne comme ci-dessus la série

el de même la quantité (i ■+- A^m)* donnera la série

1 + f A*" + " -^ — A+s* + 2.3.^'" " A*aM + - • • •

Donc, multipliant une série par l'autre et ayant égard aux remarques faites vers la fin du n° 13, on aura

1+ -5- Ap u -+- -f- Aa u

2Ç2 £lj> Y ly1 v

Donc

Mu = v- A; « -f- -f- Ai M

yiy-^) S' A3 „ , y(y-^)(y~ 2^) A3

c'est l'accroissement que doit prendre la fonction u lorsque x et y y deviennent à la fois x -+- % , y -+- <!/.

A LA DIFFÉRENTE ATION ET A L'INTEGRATION. 4fi5

Cette formule servira, comme on voit, pour l'interpolation des Tables à double entrée; et elle s'accorde avec celle que M. Lambert a donnée pour le même objet dans la troisième Partie de ses Beytrœge etc.

On pourra déduire avec la même facilité, de notre équation générale, les formules pour l'interpolation des Tables à triple, quadruple, etc., entrée; c'est sur quoi il ne nous parait pas nécessaire de nous étendre davantage.

17. Nous allons donner maintenant une méthode facile et générale de trouver immédiatement les différences d'un ordre quelconque d'une fonction quelconque de plusieurs variables, sans passer par les différences des ordres inférieurs. Pour cela on considérera que, puisque Au désigne, en général, la différence première de u, A2// la différence première de A« ou la différence seconde de u, et ainsi de suite, les valeurs successives de u seront

U -h lit,

u -+- ■?. Au -+- A-//,

u -t- 3Am + 3A2?/ -(- A8«,

et, en général,

, ni ni — i . m (m — i ) I m — 2 .

B + mAw+ ±u -h ., A3» 4 . . . .

De même, en désignant par A a;, A'*x Av. A2 v A;, A9z,... les

différences premières, secondes, etc., des variables .r, v. z on aura

pour les valeurs successives de .r,

' -4- Ax,

i + ?Ai + A'x,

x 4- 3Ajt 4- M-x 4- A3.r,

ci ;iinsi de suite pour les valeurs successives de y, z

Donc, en général, si u est une fonction quelconque de x, y, z,..., il est clair que, tandis que u devient

u-+-mAu + A'm+- ., A3m + ...,

<r, y, z,... deviendront

.r + mAx-4 -A2.r+- ' — — A" a? -+- . . . ,

. Bîim-i) .. A7« /« — i ) ( m — 2 . v -+- fflAr h A2 y -+- - ^ A3 r -(- • • • ,

m (m — i) . mi m — i)'(m — 2) ,.

z + fliâzH -A2z-t-- -^ : A3z -t-. . .,

D'où il s'ensuit qu'en désignant par y(x,y, z,...) la valeur de u, en

soi'te que

a = <p(a?, y, z,...), on aura aussi

u-hmAu-\ — A2« + ...

/ + mA/+ — — A2j

m m — ii . .

z -\- màz H A22

équation qui devra avoir lieu, quel que soit le nombre m\ de sorte qu'après le développement des termes il n'y aura qu'à comparer ceux qui seront affectés d'une même puissance de m, et l'on aura autant d'équations qu'il en faudra pour déterminer les valeurs de chacune des différences A w, A2«

18. Supposons que les différences deviennent infiniment petites et qu'en même temps le nombre m devienne infiniment grand, on aura dans cette hypothèse

ni m — 1) = >»% »? m — 1 j in — 2) = m3, ... ;

A LA DIFFÉRENT! ATION ET A L'INTÉGRATION. k&7

.donc, changeant la caractéristique A en d, on aura l'équation

u -f- m du H 1-

= <j> I x -+- m dx +

nrd'x m3dix

m2 d'1 y ni3 c/3 r

- l " L ÎL

r -f- /w dy

Ainsi, si l'on développe la fonction ç>(...) suivant les puissances de m, en sorte qu'il en résulte une série de cette forme

P + mQ + m2R : m S +-

on aura

u = P, du = Q, - = R, — » = S, . . . .

Par où l'on voit comment on peut trouver sur-le-champ toutes les différentielles de //; c'est ce que nous allons éclaircir par quelques Exemples.

1Î). Supposons que u soit une fonction de x seul, et que dx soit supposé constant, on aura donc dans ce cas l'équation // y x et

. m2 d'il md3u .

u + ni du -4 1 — = + . . . = a» [x -f- m dx .

de sorte qu'il ne s'agira que de développer la quantité ijs x mdx suivant les puissances de m.

Soit, par exemple,

tp .*• a + 6a .

f i mdx)— a -+- bx mbdx)'

r r i h' = a -*- bx r -h m rb a * 6x)' ' '/.» 01 " • /».» m' v/#

-f- /// 5 («H ÙX ' d > ' . . .;

«loue, comparant les termes affectés des mêmes puissances de m,

u = (a -t- bx f, du = rb (a -4- bx )r~ ' dx, d2u=r(r — i)b2 a -+- bx f--dx2,

et, en général,

d a = r[r — i ) ( /• — 2 ...(/■ — A -+- 1) bx {a -+- bx ' ' dx' .

On remarquera ici, et la même remarque aura toujours lieu dans les cas semblables, que puisque l'on a l'expression générale de la différentielle de l'ordre )., on pourra, en taisant ). négatif, avoir celle de l'intégrale du même ordre ). ; ainsi l'on aura

bx

b'di

or comme les facteurs r, r — 1, r — 2,... vont en diminuant, et que le dernier doit être r 4- X -1- i qui est au contraire plus grand que r, cela indique qu'il faut continuer la série de ces facteurs du côté opposé, en employant les divisions au lieu des multiplications, de cette manière

r + i)(r+2){r+3).,.(r+ X ) ' on aura donc en multipliant par dx'

u dx' -

(« + bx)r+:k

(r + i)(r + 2)(r+3)...(r+> h- ' ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs.

20. Dans le cas de l'Exemple précédent, il aurait été facile de trouver la valeur générale de dlu par la méthode ordinaire des différentiations, mais il n'en serait pas de même si la fonction f(oc) était tant soit peu plus compliquée.