A LA DIFFÉRENTIATION ET A L'INTÉGRATION

Supposons en effet

cp i x ) = [ a -+- bx -+- ex2 )r = u,

on verra aisément que les différentielles de <p (x) seront exprimées par des séries dont il ne sera pas aisé de trouver la loi, pour avoir l'expression de dx(p (x); suivant notre méthode il n'y aura qu'à mettre x -+- mdx à la place de x, ce qui rendra a -\- bx -t- ex2 égal à

a -h bx -+- ex2 -+- m (b -4- icx) dx -4- m'e dx2 ;

de sorte que la difficulté ne consistera qu'à réduire l'expression

[a -+- bx -4- ex2 -+- m i b -+- 7 ex ) dx -+- m1cdx']r

en une série (jui procède suivant les puissances de mi Faisons pour plus de simplicité

a -4- b x -+- ex2 = p, b -+- 7. c ix = q ,

en sorte que la quantité proposée devienne

p -4- mq dx -4- m2cdx' Je la développe d'abord ainsi

j> -t- mqdx r -h r /> -h mq dx r' cm2dx2 -+- — — — — p -+■ mqdx ' ic1m*dx*

-+- - ., /> + mq dx f-'&m'dx* ■+-...,

ei il ne s'agira plus que de développer de même les différentes puissances de p -+- (/mdx.

Supposons qu'on veuille avoir, en général, le terme qui sera affecté de la puissance m', il est clair que si l'on dénote par \m' d.r' le terme affecté de zn5 dans la puissance p-\-mqdx ', par Mm' -d.r' ■ le tenue affecté de m'"'1 dans la puissance [p -+- mqdx)r~\ par C/n' *dx) ' le terme affecté de m' ' dans la puissance p \ mqdx)' 2, et ainsi de suite,

il est clair, dis-je, que le tenue affecté de m' dans la série précédente sera

représenté par

A+rBc+ — Ce'

De3 !.. . m ' dx '•;

or le terme affecté de raA dans la série

est évidemment

ainsi, comparant ces deux termes, on aura

d* u = r . 2 . 3» . . X A h- rBc H — Ce- ... cfcr*,

où a = /?r.

.Mais il est facile de voir que l'on aura

>— ij(r— 2)(r— 3)...(r— X + a r W| ,

pr-,.^r

Donc, substituant ces valeurs, et faisant attention que