A LA DIFFÉRENTIATION ET A L'INTÉGRATION. V7I

et ainsi de suite, on aura

d' pr = r(r — i) (r — 2). . .(r — X -4- 1) pr~xqldx'k

X(X — Q cp : X(X — i)(X— a)(X — 3) ca/>3

p =1 a + bx -\- ex7, q = 6 + 2cr.

De là on peut, en changeant X en — X, tirer la valeur de / pr dx' , et l'on trouvera, d'après ce qui a été remarqué dans le numéro précédent.

r 4- 2 ) . . . ( r -4- X ) qx

X(X + i) cp : X(X-+-i)(X + 2j(X + 3) c'p2 4-X4-1 q1 2{r + X-4- i)(r4-X-4- 2) q*

2.3.(r-4-X4-i (r-f > + 2)(r4-X4- 3) q" Ainsi, faisant X = i, on aura

/ifdx = — 1+ — 7 (r+i)</[ /'+2)?*

ç2 r -1- 2) (r 4- 3 qr4 4.5.G.C/J1

ce qu'on peul aisément vérifier par la différentiation.

Si dans l'expression précédente on fail ac = k, on aura plus simple ment

el l'on reconnaîtra facilement la vérité de cette formule m remarquant

que d/) qdx el dq — £<&.

tf'î NOUVELLE ESPÈCE DE CALCUL RELATIF

21. On peut encore trouver une autre expression de d'à, laquelle reviendra au même pour le fond, mais qui pourra être regardée comme plus simple pour la forme.

Pour cela je reprends la quantité

(p -+- mqdx -+- m2cdx2 ',

dont il s'agit de trouver le terme affecté de m' , et je fais pour un moment dx= ipdt; elle deviendra

pr ( i -f- 2 mq dt + ^m2 pc dt2 r ;

je considère maintenant que

4 pc — q2 = 4 c ( a -+- bx ■+- ex2 ) ■ — ( b -+- i ex - = 4 ca — '' ;

d'où il s'ensuit que si l'on fait, pour abréger.

on aura l\pc = h -t- q- , ce qui réduira l'expression précédente a celle-ci

pr [ii -f- mqdt)2+ m2/idt2]r.

Or la quantité

[d + mqdtf+ m2hdt2]r

se développe d'abord en cette série

ii + mqdt)2r-h r(i -+- mqdtf—2hm2dt2-^ i-+-mqdt)lr ,h7m*dtt

p l f — i ) ( r — 2 ) + — ~ (i -4- mqdtj2r-6h3m6dle-h. . .;

ensuite, développant encore ebaque puissance de i-+-mqdt, on trouvera que le terme affecté de m1 sera représenté par la série

2/-(2T— I 2/ — 2). . .(ir — A -+- 1) , ...

jr-i — ^ m'a1 dt'

/• ;•— i ir— 4)(2r— 5). . .(2r— À -+- i) .,,.,„

H 2jLï ' m'qK"lfdt'

A LA DIFFËRENTIATION ET A L'INTEGRATION. 473

Ainsi cette série, multipliée par pr, sera égale au terme

m' d'ku

(1 OC i •

de sorte qu'on aura, en remettant — à la place de dt et pT à la place de u,

d ' p' = ir{ir — i)(2r — 2 ) . . . i 2 /■ — / + i ) ( - ) pr~' dxk

2r(2r — i j q- 2 ir{ir — i)i?t — 2.){ir — 3 ip

r r — i}[r — 2) X i X — 1). . .(X— 5) fc "1

Si dans celte formule ou fail

r = et p = 1 — .r-,

par conséquent

« = 1 , /) - o, c = — 1, q = — 2X, Il = — 4' on aura

. 1 r .2.3. . .'/... rkdxl

C'esl la formule que M. Ëuler ;i trouvée par induction dans ses Institutions du Calcul différentiel.

On peut aussi, dans la formule générale ci-dessus, faire X négatif, el l'on aura alors, comme dans le numéro précédent,