III

klk NOUVELLE ESPÈCE DE CALCUL RELATIF

Ainsi, faisant X = r, on aura

\prdx = - f- i

2 r — i ) q2 [ir — i) ( 2 r — 3 ) q*

[ a r — i) ( 2 r — 3 ) ( 2 /• — 5 \qe

Au reste, ces formules pour les intégrations sont en quelque sorte plus curieuses qu'utiles, parce qu'elles ont toujours l'inconvénient d'aller à l'infini', même quand l'intégrale peut être exprimée d'une manière finie; mais elles n'en sont pas moins remarquables, puisqu'elles servent à montrer de plus en plus l'analogie qu'il y a entre les différentiations et les intégrations.

22. Soit à présent u une fonction de x et y, et supposons par exemple a = xy, on aura donc (18)

, m'd2u m3diu

ii + m du H — — | \- . . .

/ . ni'd2x mid3x W , m'd'y m3d3y

= [x-\-mdx-\ 1 — i- . . . r -+- ni d y '

! x d2 y y d2 x = xy -+- m (xdy -+- ydx ) -+- m2 I : — h dxdy -+-

fxd'y dx d2y dyd2x yd3x

Donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de m, on aura

u = xy, du = xdy + ydx, d2u = x d'y -+• 2 dxdy -+- yd'.r, d3u = x d3y -+- 3dx d'y + 3dyd2x -+- y d3x,

et, en généra

dku =z yt

d^u = y dKx -+- hdy dx ' .r + d2y d^x

d3y dx~3x