NN' = D

La première et la dernière donnent d'abord

et ces valeurs étant substituées dans les deux autres, on aura

M (A— M)-+-N + j~ = B, -jj- + N(A — M) = C,

lesquelles serviront à déterminer M et N.

Supposons qu'on veuille exprimer N par M, on multipliera la première par M, et on en retranchera la seconde, ce qui donnera

M k — M) -t- 2MN - AN = BM - C, d'où l'on tire

C — BM -4- AM2 - M:i

et cette valeur de N, étant substituée dans l'une quelconque des deux

équations précédentes, donnera une équation finale en M qui montera

au sixième degré.

Maintenant je remarque que si l'une des racines de cette équation se

\ AB A3 trouve égale à — > et qu'on ait en même temps C = - „-> cette

valeur de M donnera N = -; et pour trouver la véritable valeur de N dans

ce cas il faudra reprendre les équations où N montait au second degré,

lesquelles, en y faisant

A n AB A3 M = — et C = -rri

se réduiront a cette équation unique

savoir

laquelle est, comme on voit, du second degré, et donner;) par conséquent

deux valeurs différentes de N répondantes à la même valeur de M = — ■

D'où l'on voit qu'il ne suffit pas d'être assuré que l'équation en .M ;i nécessairement une racine réelle, pour pouvoir l'être aussi que le facteur

sera réel, puisqu'il peut arriver que le coefficient N suit imaginaire, ce qui aura lieu dans le cas que nous venons d'examiner si

7. Au reste, il est bon de remarquer que la valeur -- de .M sera nécessairement mie racine double de l'équation en M; c'est de quoi on peul se convaincre à priori par cette considération que, connue les deux facteurs

Boni semblables, les coefficients correspondants M et M' doivent être les racines d'une même équation, ainsi que les coefficients N et N'; ce qui est d'ailleurs évident par les équations mêmes qui servent à déterminer ces quatre quantités, et qui sonl telles, qu'elles demeurenl les mêmes en \ changeant M en M et N en Y. Ainsi, comme on a trouvé M'=A M, il s'ensuit que l'équation en M devra être telle, que si M esi une de ses

A racines, A — M en soit une aussi; donc lorsque M= —■> les deux ra-

cines M et A — M deviendront égales.

On peut encore prouver la même chose par la nature même de l'équation en M; car pour avoir cette équation il n'y aura, comme nous l'avons dit, qu'a substituer l'expression générale de N trouvée ci-dessus, et que

nous désignerons, pour plus de simplicité, par —■, dans l'équation