M(A-M) + N + ^=B, IN

ce qui donnera, en étant les fractions,

Q2-(B — AM + M2)QP -+-DP2 = o,

OÙ

P = A-aM et Q = C-BM + AM! — M\

Maintenant il est clair que si l'on a en même temps P = o et Q = o, nonseulement l'équation précédente aura lieu elle-même, mais aussi sa différentielle, qui sera

2QrfQ + (A-2M)QPrfM-(B-AM + M2)(QrfP + Pt/QJ + 2DPdP = o;

d'où il s'ensuit que la racine M = — sera nécessairement une racine 1 2

double.

8. Comme la voie de l'élimination est très-longue, et que d'ailleurs elle ne pourrait jamais conduire qu'à des résultats particuliers, il faudra tâcher de découvrir à priori le degré et la nature de l'équation par laquelle la quantité M devra être déterminée, ainsi que la nature des fonctions qui exprimeront les valeurs des autres quantités N, P, Q,... en M.

Pour cela on considérera que, puisque l'équation

x" — Mx"~[ -+- N x"-'2 — ...= o est supposée être un facteur de l'équation proposée

a '" — A x'"-' -+- B.r'" 2 — Cr"-3 -+- . . . = o,

il faudra qu'elle soit formée du produit de n facteurs simples pris parmi les m facteurs simples de celle-ci; de sorte que comme le nombre des manières différentes de prendre n choses parmi un nombre de choses égal à m est exprimé, suivant la théorie des combinaisons, par la formule

il s'ensuit que l'équation proposée admettra un pareil nombre de diviseurs de la forme

x" — Mx"-' + Nx"^!-, . . = o,

et qu'ainsi chaque coefficient M, N,... sera susceptible d'autant de valeurs différentes, et par conséquent dévia être déterminé par une équation d'un degré marqué par la même formule.

9. Cette proposition est connue depuis longtemps des Géomètres, et l'on a coutume de la prouver par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire; mais il est facile de voir que celle preuve est sujette à quelques difficultés. Car, quoiqu'il soit démontré qu'une équation du degré ni peut avoir autant, de différents diviseurs du degré n qu'il y a de manières de combiner m choses n à n, et qu'en même temps il paraisse hors de doute que les coefficients analogues de ces différents diviseurs doivent être donnés par une même équation dont ils seront les racines, cependant il n'est pas évident que cette équation ne pourra avoir d'autres racines, puisqu'il arrive le plus souvent que les équations qu'on trouve pour la solution des Problèmes tant algébriques que géométriques renferment bien des racines inutiles, outre celles qui servent à la résolution cherchée.

(l'est pourquoi il semble qu'on ne saurait, à proprement parler, conclure autre chose du raisonnement ci-dessus, sinon que l'équation qui doit donner la valeur de chaque coefficient du diviseur cherche ne peut être d'un degré moindre que celui qu'on a assigné, sans qu'on soit en droit de prononcer qu'elle ne peut pas être non plus d'un degré plus liant.