III. 6a

Si l'on joint celle objection à celles que M. d'Alembert a déjà proposées dans le premier volume de ses Opuscules, page 227, on conviendra aisément que la proposition dont il s'agit, sur le degré de l'équation par laquelle chaque coefficient M, N,... doit être déterminé, ne peut être admise sans une démonstration rigoureuse; mais nous nous contenterons ici de renvoyer pour cet objet a la Section IV de nos Réflexions sur la résolution des équations citées ci-dessus, où nous avons démontré cette proposition d'une manière qui ne laisse rien à désirer du côté de l'exaclitude et de la généralité.

10. La question se réduit donc maintenant à voir si, en supposant que m soit un nombre quelconque pair donné, on peut toujours prendre le nombre n moindre que m, et tel, que le nombre

qu'on sait devoir être toujours entier, soit en même temps un nombre impair.

Il est d'abord visible que si m est un nombre impairement pair en sorte que m= ai, i étant un nombre impair autre que l'unité, il n'y aura qu'à prendre n= 2, ce qui donnera la formule

laquelle, à cause de i et de 2« — 1 impairs, représentera nécessairement un nombre impair. Si m = l\i, en supposant toujours 1 impair, on fera n = 4> ce qui donnera la formule

4* (4* — 0 (4l'~ 2)(4/'— 3) i(4* — iifîi — 1) (4/ — 3 1.2.3.4 ! ■ 3

laquelle représentera nécessairement un nombre impair, à cause que i, [\i — 1, ii — r et l\i — 3 sont tous impairs.

On prouvera de même que, si m = 8i et qu'on prenne n = 8, on aura une formule qui ne donnera que des nombres impairs, et ainsi de suite

d'où l'on conclura, en général, que si m= 2' i, i étant un nombre impair autre que l'unité, et qu'on prenne n — 2r, la formule

représentera nécessairement des nombres impairs.

En effet il est clair qu'elle deviendra dans ce cas, en écrivant le dénominateur a rebours,

iri ■?.' i — \ iri — 2) 2ri — 3)(2rï — 4)- • •(a'i — a'H-i)

c'est-à-dire, en divisant les facteurs correspondants du numérateur et du dénominateur autant de fois par 2 qu'il est possible,

Il 2rï— I ' 2r-' I — l)(2ri— 3)(2r- 2/— l). . .(2rt — 2'-t- I (2r— l)(2r-' — l)(2r— 3)(2'-:! — l)...I

où l'on voit que le numérateur et le dénominateur ne renferment plus (jue des facteurs impairs; de sorte que, la division faite, on aura nécessairement un quotient qui sera un nombre impair.

11. Il est donc démontré que toute équation d'un degré pair ■?.' i i étant un nombre quelconque impair autre que l'unité) peut être divisée par une équation du degré inférieur 2'', dont chaque coefficient sera déterminé par une équation d'un degré impair; de sorte qu'on sera d'abord assuré qu'un quelconque de ces coefficients aura une valeur réelle, et qu'il ne restera plus qu'à prouver que les autres devront aussi avoir des valeurs réelles; car quoique chaque coefficient en particulier puisse avoir une valeur réelle, étant donné par une équation de degré impair, cependant on n'en saurait conclure que tous les coefficients auront ;i la fois des valeurs réelles, puisqu'il n'est pas démontré que les valeurs réelles que ces coefficients doivent avoir soient précisément celles qui se correspondes et qui peuvent avoir lieu en même temps.

Or nous avons déjà fait voir plus haut que. des que l'un des coefficients es) supposé connu, on peut toujours exprimer tous les autres par

des fonctions rationnelles de celui-là, à l'exception de quelques cas particuliers où il arrive que la détermination de ces coefficients demande encore la résolution d'une équation de deux ou de plusieurs dimensions; ainsi tout se réduit à déterminer à priori quels sont ces cas, et quel est le degré de l'équation qu'on a alors à résoudre.

12. Cette question dépend de celle dont nous avons donné la solution ailleurs [Réflexions sur la résolution des équations, Section IV, n° 100 (*)], et qui consiste a trouver la valeur d'une fonction quelconque des racines d'une équation donnée, lorsqu'on connaît déjà celle d'une autre fonction quelconque des mêmes racines. Car il est visible que les coefficients M, N,... du diviseur

x" — Mx"~x + N.r"-2 — P.r"-3 + . . . = o sont des fonctions des racines de l'équation proposée

x'" — kx"--' -!- Br~! — C.r'"-3 + . . . = o,

et il est facile de conclure de ce que nous avons dit dans le n° 7, que le coefficient M en particulier sera égal à la somme de n quelconques des m racines de la proposée, que le coefficient N sera égal à la somme des produits deux à deux de ces n racines, que le coefficient P sera égal à la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite.

13. En appliquant donc à ce cas notre solution générale, on verra qu'on peut toujours exprimer par des fonctions rationnelles d'un quelconque des coefficients M, N, P, ... la valeur de chacun des autres, excepté les seuls cas où, l'équation par laquelle ce coefficient-là doit être déterminé ayant des racines égales, on voudra prendre précisément une de ces racines pour sa valeur.

Alors chacun des autres coefficients devra nécessairement être déterminé par une équation dont le degré sera égal au nombre de ces racines égales, et dont les coefficients seront des fonctions rationnelles du même coefficient, qu'on suppose connu.

(*) OEiwres de Lagrange, t. III, p. 374.

De là il s'ensuit :

i° Que si la valeur réelle que doit avoir nécessairement un quelconque des coefficients M, N, P,..., clans le cas du n° 10, est une racine inégale de l'équation par laquelle ce coefficient doit être déterminé, on sera assuré que tous les autres coefficients auront aussi nécessairement des valeurs réelles ;

20 Que si celte valeur est une racine égale de la même équation, alors pourvu que l'exposant de l'égalité soit impair, c'est-à-dire que ce soit une racine triple, ou quintuple, ou, etc., on sera aussi assuré que les autres coefficients auront des valeurs réelles, puisqu'ils dépendront d'équations de degrés impairs; mais il n'en sérail pas de même si le degré de la multiplicité était pair.

14. Considérons, en général, une équation quelconque du degré fx, laquelle ait v racines inégales, vs racines inégales entre elles, mais dont chacune en ait/? — i autres égales, p racines inégales entre elles, et dont chacune en ait r — i autres égales, et ainsi de suite, en sorte que l'on ail

\>. = v -4- 13 p -+- pr ■+ . . . .

On sait par la théorie des racines égales que l'équation proposée pourra toujours se décomposer, sans aucune extraction de racines, en différentes équations dont chacune renferme toutes les racines inégales du même ordre; c'est-à-dire en une équation du degré v qui ne renferme que les racines simples el inégales, en une équation du degré ttt qui ne renferme que les racines inégales donl chacune se trouve p l'ois dans la proposée, en une équation du degré p qui ne renferme que les racines inégales donl chacune se trouve /• fois dans la proposée, et ainsi de suite.

Maintenant, si l'on suppose que l'exposant ;j. soit un nombre quelconque impair, il faudra que la somme des nombres v. ^p, -,,.... soil un nombre impair, et par conséquent il faudra qu'un quelconque de ces nombres soil impair; si v est impair, l'équation «In degré v aura néces

s:iirenienl une racine réelle, laquelle sera une racine inégale de l'équa-

liun proposée; si v, p est impair il faudra «pie or et p soient l'un et l'autre

impairs; donc l'équation du degré zs aura nécessairement une racine réelle qui sera une racine égale de la proposée, dont l'exposant d'égalité sera/?, et par conséquent aussi impair; il en sera de même si or est impair, et ainsi de suite.

15. De là et de ce qu'on a démontré plus haut, il s'ensuit donc que toute équation du degré 2' i (i étant un nombre impair) pourra toujours avoir pour diviseur une équation du degré 2r dont les coefficients seront nécessairement des quantités réelles (11 et 13); de sorte qu'en divisant l'équation proposée par cette dernière on aura pour quotient une autre équation du degré 2/(1 — 1), laquelle aura aussi tous ses coefficients réels.

Or, comme i est supposé un nombre impair, i — 1 sera un nombre pair qu'on pourra représenter, en général, par 2sk (k étant un nombre impair); donc l'exposant 2r (i — 1) deviendra 2r+sk, et l'on pourra prouver de même que l'équation de ce degré pourra se décomposer de nouveau en deux autres équations réelles, l'une du degré 2r+s et l'autre du degré 2r+s(k — 1); et faisant k — 1 = 2*1(1 étant un nombre impair) cette dernière équation aura pour exposant le nombre 2r+s+l l, et pourra par conséquent se partager de nouveau en deux équations, l'une du degré 2'^^', l'autre du degré 2r+s+t (l — 1), et ainsi de suite.

De sorte que par cette méthode on pourra toujours décomposer toute équation d'un degré pair quelconque en autant d'équations réelles, dont les degrés soient marqués par des puissances de 2, qu'il y aura de pareilles puissances dans le degré de l'équation proposée. Ainsi une équation du sixième degré pourra se décomposer en deux, l'une du second degré, l'autre du quatrième; une équation du douzième degré pourra se décomposer en deux, l'une du quatrième degré, l'autre du huitième, et ainsi du reste.

16. Il ne reste donc plus qu'à considérer les équations des degrés marqués par des puissances de 2. Il est facile de voir que dans ce cas la formule du n° 10 donnera toujours des nombres pairs, quelque nombre qu'on prenne pour /?, au moins tant que n sera moindre que m, comme

il le faut; de sorte que la détermination des coefficients M, N, P, . . . des diviseurs de ces sortes d'équations dépendra toujours nécessairement d'une équation de degré pair, dans laquelle on ne pourra par conséquent s'assurer de l'existence d'une racine réelle, à moins que le dernier terme ne soit négatif ( 1).

Désignons, en général, l'exposant m de l'équation proposée par 2', et supposons que l'exposant n du diviseur soit la moitié de celui-là, c'est-àdire égal à 2'-*; en ce cas la formule du numéro cité deviendra, en disposant le dénominateur au rebours,

c'est-à-dire, en divisant les facteurs correspondants du numérateur et du dénominateur autant de fois par 2 qu'il est possible,

où l'on voit que tous les facteurs du numérateur sont impairs à [''exception du premier qui est 2, et que tous ceux du dénominateur sont aussi impairs; d'où il s'ensuit que celle formule représentera toujours des nombres impairement pairs.

17. Cela posé, considérons l'équation par laquelle doit se déterminer le coefficient M; elle sera, comme on vient de le voir, d'un degré impairement pair, et aura pour racines toutes les différentes sommes possibles qu'on peut faire des racines de l'équation proposée en ne prenant à la fois qu'un nombre de ces racines qui soit la moitié du nombre total (12 .

Qu'on fasse maintenant dans cette équation M • A étant le

coefficient du second terme de l'équation proposée et 11 une nouvelle inconnue, on aura une transformée en // du même degré, dont les racines

seronl exprimées par A — ^.M, c'est-à-dire qu'elles seront égales aux différents résidjUS qu'on aura en retranchant successivement de la somme totale des racines de la proposée, somme qui est égale a A, le double des

différentes sommes particulières qu'on peut faire de ces racines en ne les prenant qu'au nombre de la moitié; de sorte que les racines dont il s'agit ne seront autre chose que les différences entre la somme de la moitié du nombre des racines de la proposée et la somme de l'autre moitié, en prenant ces sommes de toutes les différentes manières possibles.

Par exemple, si l'équation proposée est du quatrième degré et a, par conséquent, quatre racines a, b, c, d, on aura

A. = a-+-b + c-hd, et les valeurs de M seront

donc les valeurs de

seront

et ainsi des autres équations des degrés supérieurs.

18. De là il est d'abord facile de conclure que l'équation en u manquera de toutes les puissances impaires, puisqu'il est évident que chaque racine positive 'doit avoir nécessairement une racine négative égale: ce qu'on voit clairement dans l'Exemple précédent, où les quantités

c -h d — a — b, b -f- d — a — c, b -f c — a — il,

sont les négatives des quantités

Donc, si l'on fait ?/2 = /, l'équation en u s'abaissera à un degré moindre de la moitié, et comme on a prouvé que le degré de l'équation en u est pairement impair, il s'ensuit que le degré de l'équation en t sera nécessairement impair; de sorte que cette équation aura nécessairement une racine réelle, laquelle sera positive si son dernier terme est négatif, et négative s'il est positif f 1). Or, pour que u, et par conséquent M, ait

une valeur réelle, il faut que celle de t soit réelle et positive; par conséquent la question est réduite a voir si le dernier terme de l'équation en / sera négatif; et comme le dernier terme de toute équation d'un degré impair pris avec un signe contraire est égal au produit de toutes les racines, tout consistera a voir si le produit de toutes les différentes valeurs de t est une quantité positive ou non.

19. Pour parvenir à ce but avec plus de facilité, considérons d'abord le cas où l'équation proposée est du quatrième degré, et dans lequel nous avons déjà vu que les différentes valeurs de u sont

a -h b — c — d, a -t- c — b — d, a -+- d — b — c, c -hd — a — b, b -t- d — a — c, b + c — a — d;

il es! clair que, comme les trois dernières quantités sont égales aux trois premières prises négativement, les différentes valeurs de u2 ou / seront seulement ces trois-ci

a -h b — c — df, a -h c — b — d)3, a H- d — b — c ;

<le suite (pie le produit de ces trois valeurs sera égal au carre de la

quantité

et il ne s'agira plus que de voir si ce carré est toujours une quantité positive, quelles que soient les racines a, l>, c, d. Il est d'abord clair que, si ces racines sont toutes réelles, la quantité précédente sera aussi toute réelle, en sorte que son carré sera nécessairement une quantité réelle positive; mais il peut n'en cire pas de même s'il y a des racines imaginaires, d'autan! que la forme des racines imaginaires est encore regardée comme inconnue.

20. M. Euler, ayant supposé pour plus de facilité le coefficient A du second terme de la proposée nul , a trouvé , ii la place de la quantité précédente, celle-ci

qui, a cause de a h c d O, est égale il celle-là divisée par S; et III. 63

il se contente ensuite de dire que ce produit est déterminable, comme on sait, par les quantités B, C, D, et qu'il sera par conséquent réel; mais, pour que cette conséquence soit légitime, il faut prouver qu'on peut déterminer ce produit par une expression rationnelle des mêmes quantités : c'est ce que M. Euler n'a point fait, du moins d'une manière directe et à priori.

Il est vrai que le carré

sera toujours une fonction rationnelle des coefficients B, C, D; mais la difficulté consiste précisément à démontrer que sa racine en sera une aussi.

Pour sentir davantage la force de cette objection, il n'y a qu'à considérer, par exemple, la quantité

il est certain que le carré de cette quantité peut s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficients B, C, D; mais il n'en est pas ainsi de la quantité elle-même : en effet, on trouve pour la valeur du carré dont il s'agit l'expression