D3— 2\42R2D' + 42.32C2BD + 42R<D- 4C2B3-33C

laquelle n'est pas un carré en général; de sorte qu'on ne saurait en conclure que sa racine sera toujours une quantité réelle.

21. Le caractère, auquel on peut reconnaître à priori si une fonction proposée des racines d'une équation quelconque peut se déterminer par une expression rationnelle des coefficients de cette équation, consiste, comme nous l'avons démontré dans notre Mémoire sur les équations, en ce que cette fonction doit être telle, qu'elle ne change point de valeur, quelque permutation qu'on y fasse entre les racines dont elle est composée; ainsi il n'y a qu'à voir si cette condition a lieu ou non dans la

fonction

comme les trois racines b, c, cl y entrent également, il est d'abord visible que les permutations qu'on pourrait faire entre ces racines ne produiraient aucun changement dans la fonction; mais on ne peut pas dire tout à fait la même chose par rapport à la racine a, puisqu'elle n'est pas disposée à l'égard des autres comme celles-ci le sont entre elles. Voyons donc ce que donneront les échanges de a en b, en c, en d. En changeant a en b, les trois facteurs

se changent en ces trois-ci

par où l'on voit que le premier demeure le même, que le second devient le troisième avec un signe contraire, et que le troisième devient le second avec un signe contraire. On trouvera pareillement que, en changeant a en c ou en d, il y aura toujours un des trois facteurs qui demeurera le même, tandis que les deux autres se changeront l'un dans l'autre en changeant en même temps de signes; d'où il est facile de conclure que le produit des trois facteurs demeurera toujours le même.

La circonstance qui fait que ce produit ne varie point, c'est que les facteurs qui se changent l'un dans l'autre, en changeant en même temps de signes, sont en nombre pair; car si les facteurs qui changent désignes étaienl en nombre impair, alors il est facile de voir que le produit dont il s'agit conserverait à la vérité la même valeur absolue, mais en changeant de signe : c'est là la raison pourquoi la fonction dont on a parlé ei- (lessiis 20)

dc saurait être exprimée par les coefficients A, B, C, D d'une manière rationnelle; car en changeanl . par exemple, a en b, le facteur a — b devient simplement négatif, les facteurs a — c, a — d se changent flans les facteurs b — c, b— d, et le dernier facteur c— d demeure le même: de

sorte que, puisqu'il y en a un qui change simplement de signe, un qui demeure tout à fait le même, et quatre dont deux se changent dans les deux autres, il s'ensuit que le produit total devra devenir négatif.

22. Il est facile maintenant d'appliquer le même raisonnement au cas où il y aura plus de quatre racines, et de s'assurer à priori que le dernier terme de la réduite en t sera toujours un carré avec le signe — . Supposons, par exemple, que les racines de l'équation proposée soient au nombre de six, savoir a, b, c, d, e, /(quoique a proprement parler nous n'ayons besoin de considérer ici que les équations dont les degrés sont des puissances de 2, cependant nous prendrons le cas d'une équation du sixième degré, parce qu'il est plus simple que celui d'une équation du huitième, et qu'il peut servir à faire voir que la proposition est générale pour toutes les équations des degrés pairs), on verra aisément, par ce qui a été démontré plus haut, que le dernier terme de la réduite en t sera égal au carré du produit de ces dix quantités

pris avec un signe contraire; de sorte qu'il ne s'agira que de voir si ce produit demeure le même en faisant toutes les permutations possibles entre les six racines a, b, c,...; auquel cas on sera assuré qu'il pourra être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients A. B, C,... de l'équation proposée.

Pour cela, je remarque d'abord que les dix quantités précédentes sont

telles, qu'elles renferment toutes les permutations possibles entre les cinq racines b, c, d, e,f, puisqu'elles ne sont autre chose que les différentes valeurs de la quantité

qui résultent de toutes les échanges possibles entre les cinq lettres b, c, d, e, f, la lettre a étant regardée comme fixe; d'où il s'ensuit qu'en faisant le produit de ces dix quantités on aura une fonction des racines a, b, c,... qui sera telle, qu'elle ne recevra aucun changement par les permutations des cinq racines b, c, d, e, f entre elles; de sorte qu'il suffira de considérer les résultats des échanges de la racine a dans les cinq autres; et comme les échanges de celles-ci entre elles ne produisent aucun changement dans la fonction dont il s'agit, il est clair qu'on aura le même résultat, soit qu'on change a en b, ou a en c, ou a en d, ou, etc.; par conséquent, il suffira de considérer une seule échange comme celle de a en b, et si (die ne lait point varier le produit des dix quantités ci-dessus, on sera assoie que ce produit sera déterminable par une fonction rationnelle des coefficients A, h\ C... de l'équation proposée.

Or, en changeant a en b, il est visible que les quatre premières quantités, OÙ les lettres a et b se trouvent jointes avec le signe -f- , demeureront les mêmes, puisque a -f- b est la même chose que b -\- a, cl que les six dernières, OÙ les lettres a et b ont des signes différents, se changeront l'une dans l'autre en changeant en même temps de signes; d'où l'on conclura «pic le produit de toutes ces quantités demeurera nécessairement le même, puisque les facteurs qui changent de signes sont en nombre pair.

23. On considérera maintenant que, pour avoir les dix quantités qui soni les facteurs du produit en question, il n'y a qu'à ajouter successivement a la racine a les sommes des autres cinq racines prises deux li deux.

et en retrancher en même temps les racines restantes; d'où il esl d'abord

facile de conclure (pie, si le nombre de toutes les racines était >n, il faudrait , pour avoir les facteurs dont il s'agit, ajouter successivement il la racine a le> soinincs des antres 271 ■— i racines prises // i a // i, cl

en retrancher en même temps les racines restantes; moyennant quoi le nombre de ces facteurs sera exprimé, comme il résulte de la théorie des combinaisons, par

( 2 1l — I i ! 2 77 — 2 i ! 2 II — 3 ... 77 H- 1

Ensuite on considérera que, en changeant a en b, quelques-uns de ces facteurs demeurent les mêmes, tandis que les autres se changent entre eux en changeant en même temps de signes; de sorte que pour savoir le nombre de ces derniers il suffira de retrancher du nombre total celui des facteurs qui demeurent les mêmes en changeant a en b. Or il est visible que ces facteurs-ci se trouveront en ajoutant successivement à la somme a -+- b les différentes sommes des autres o.n — 2 racines prises n — 2 à n— 2, et retranchant en même temps les racines restantes; de sorte que le nombre de ces facteurs invariables sera exprimé par

(in — 2)(2B — 3)...(ft-t-I

donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura

ou bien, en réduisant au même dénominateur,

pour l'expression du nombre des facteurs qui s'échangent entre eux eu changeant en même temps de signes.

Ainsi la question est de voir si ce nombre sera toujours pair; or c'est ce qui est évident, car si l'on divise le haut et le bas de la fraction par «—i, elle deviendra

(2/1 — 3 ) ( 2 77 — ^) (in — 5 ... 77

mais la quantité

{in — 3 ) ( 2 n — 4)(2W — 5). . .11 1 . 2 . 3 . . . ( n — 2 )

est toujours un nombre entier, puisque c'est le coefficient du (n — 1 )ième terme d'un binôme élevé à la puissance in — 3; donc le double de ce nombre sera toujours nécessairement un nombre pair.

24. Nous venons donc de démontrer rigoureusement que, en considérant une équation du degré 2' comme exactement divisible par une autre équation du degré 2r~{ , le coefficient M du second terme de celle-ci sera nécessairement déterminé par une équation telle, qu'en y faisant

(A étant le coefficient du second terme de la proposée), et ensuite

il viendra une transformée en / d'un degré impair, et qui aura son dernier ternie négatif en sorte que l'inconnue / aura toujours une valeur réelle positive; moyennant quoi la valeur de // sera aussi réelle.

Donc, puisque M a nécessairement une valeur réelle, il s'ensuit (13) que tons les autres coefficients N, P, Q,... du diviseur en question auront aussi chacun une valeur réelle, à inoins que la valeur réelle de M ne soit une racine multiple de l'équation en M; auquel cas il peut arriver que les valeurs des antres coefficients soient imaginaires, comme nous l'avons déjà remarqué plus haut.

Il est donc nécessaire d'examiner ce cas, et de voir comment il faudrait s'y prendre pour trouver alors un diviseur huit rationnel de l'équation proposée.

Je commence d'abord par remarquer que comme u= \/, on aura

M = - s •. d'où l'on voit que chaque valeur de / donnera deux valeurs de M, qui ne seront jamais égales, à moins que l'on n'ait t o; de plus

il esl clair que si toutes ces valeurs de t sont inégales, celles de M le seront aussi; de sorte que l'équation en M n'aura proprement de racines égales que dans deux cas, l'un où l'équation en t en aura elle-même d'égales, l'autre où l'équation en t aura une ou plusieurs racines égales à zéro.

Supposons d'abord que l'équation en t n'ait aucune racine égale à zéro, mais qu'elle en ait plusieurs égales entre elles; comme cette équation est d'un degré impair, on prouvera par un raisonnement semblable à celui du n° 14 qu'elle aura nécessairement une racine réelle inégale, ou égale d'un ordre d'égalité marqué par un nombre impair; d'où il esl facile de conclure que l'équation en M aura aussi nécessairement une pareille racine, et même deux, en sorte que chacun des autres coefficients N,P, Q,... aura nécessairement une valeur réelle (13).

Ainsi, quelles que soient les racines de l'équation en t, pourvu qu'aucune d'elles ne soit nulle, on sera assuré que les coefficients du diviseur auront tous des valeurs réelles.

25. 11 n'en est pas de même lorsque l'équation en t a une racine nulle,

ce qui arrive quand son dernier terme se trouve égal à zéro. Dans ce cas

il est clair que la racine t = o donnera dans l'équation en M deux racines

A égales à — ; de sorte que chacun des autres coefficients N, P,... dépendra

nécessairement d'une équation du second degré qui pourra n'avoir aucune racine réelle; il est vrai que l'équation en i pourra avoir encore d'autres racines réelles, mais la difficulté consiste à prouver qu'elle en aura toujours de telles. En effet cette équation, étant divisée par t, ne montera plus qu'à un degré pair; de sorte qu'il faudrait démontrer, en général, que le dernier ternie sera toujours négatif, ce qui d'ailleurs n'est pas vrai.

Pour donner un exemple de l'insuffisance de la méthode précédente dans le cas dont il s'agit, nous reprendrons celui du n° 6 où l'on propose de trouver un diviseur du second degré

x1— Mi -t- N = o

de l'équation générale du quatrième degré

x" — Ax3-h Bx2 — Cr + D = o.

En substituant l'expression de N en M, et faisant ensuite

A -h ii A -+- 1 t M = = — j

on trouve cette réduite en t

/3-(3A2— 8B)/'-f-(3A«— i6A'B^i6B»-4-i6AC — 64D t~ (A3-4AB-f -8C)2=o,

laquelle a, comme on voit, son dernier terme toujours négatif. Maintenant, si l'on a

A3-4AB-^8C = o,

il est clair que l'équation précédente aura d'abord la racine t = o, laquelle donnant M = — on tombera dans le casque l'on a déjà examine dans le numéro cité, et où l'autre coefficient N du diviseur

x2 — Mx -1- N = 0

dépendra d'une équation du second degré qui n'aura de racines réelles

que tant que ?\D ne surpassera pas ( y — B) ; de sorte que dans le cas où

le coefficient N sera imaginaire, et l'équation proposée du quatrième degré se trouvera par ce moyen décomposée en deux équations imaginaires du second degré, lesquelles seront

x1— — x -4 - i> = o, x2 — - x -+- iS o, 2 2

\ et N" étant les racines de l'équation

V u (*! j{)> ; |) 0i III &j

Pour avoir donc des facteurs tout réels il faudra dans ce cas chercher une autre valeur de t; or l'équation en t étant toute divisée par t devient

P- (3A2-8B); + 3A*-i6A2B-t- 16B2 + 16AC - 64D = o,

ou bien, en substituant à la place de C sa valeur ,

*2-(3A2-8B)*+(A2-4Rr-64D = o,

dans laquelle on voit que le dernier terme sera positif si

de sorte qu'on ne peut pas être assuré, en général, que cette équation aura des racines réelles, à moins que l'on ne considère la condition qui est particulière aux équations du second degré.