Cependant si l'on observe que la condition

est celle qui rend réelles les racines de l'équation en N ci-dessus, et que

la condition opposée

est celle qui rend le dernier terme de l'équation précédente en /, négatif, on en pourra conclure d'abord qu'il est toujours possible d'avoir poulies coefficients M et N des valeurs réelles. En effet :

i° Soit

(p désignant une quantité positive), on prendra dans ce cas la racine / = o, laquelle donnera

20 Soit

™ A xt A2 B , v/v

M = — et N = — -o + - ± \J- ■ 2 020

on prendra, dans ce cas, pour t la racine positive de l'équation

P — (3A2-8B)f — p = o, et l'on aura (6)

M=^l' a, N=C-BM + AM.-M.

27. Mais, pour pouvoir résoudre la difficulté dont il s'agit d'une manière générale et applicable aux équations de tous les degrés, il faut employer d'autres principes.

Reprenons pour cet effet l'équation proposée

xm — Ax"—< -4- Bx"'-' — Cr"-3 -4- . . . — o,

ou m= 2r, et considérons les deux facteurs

x" — Mx"-1 + Nj"-! — Vxn~* -+-... = o, x" — M'-r"-' -f- N'-r"-2 — V'xn-% -+-...= o,

dont on suppose qu'elle soit formée, n étant égal à ir~{ = — ; qu'on fasse, ce qui est permis,

.„ a -f- p. -... oc — u.

c'est-à-dire qu'on introduise à la place des coefficients indéterminés M, M', N, N', P, P',..., leurs sommes

et leurs différences

M — M' = fx, N — N'=v, P I" . .w,...,

ci l'on trouvera :i m, ou ?.// équations entre les m indéterminées «. [i.

y y., v, s par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces

inconnues.

Qu'on suppose maintenant

U = ClfJ. -+- bv + CTS -+- . . . ,

a, b, c,... étant des coefficients quelconques arbitraires, et qu'on introduise partout l'indéterminée u à la place d'une quelconque des indéterminées u., v, zs, . . . , par exemple à la place de {)., en substituant

ii — bv — cm — ... î-i < i

- au heu de p., on aura in équations entre les in inconnues a, |3, y,..., u, y, ts,..., d'où, éliminant les in — i inconnues a, (3, y,..., v, zs,..., il viendra une équation en u, qui sera du même degré et assujettie aux mêmes conditions que celle du n° 17, comme je vais le démontrer.