I) I (1 TC
celte hypothèse la valeur de / serait de la forme - -■, cl l'on aurai!
17 * 1 -I- mx
trois coefficients p, q, m à déterminer, en sorte qu'on pourrai! faire quadrer celle formule avec trois observations données. On pourrait même supposer plus généralement
a -(- bx -+- ex2 -4- . . .
qx
en y admettant autant de termes qu'on voudrait ; mais il serait inutile de s'étendre dans ces détails parce qu'il n'en pourrait jamais résulter que
des conclusions hypothétiques.
10. Je \ieiis maintenant a l'objet principal de ce Mémoire, ii la recherche de la loi de la réfraction de la lumière dans l'atmosphère; el je
remarque d'abord que par des expériences très-exactes faites par la
Société Royale de Londres en 1699, et répétées plusieurs années après par M. Hawksbee qui en donne le détail dans le Chapitre IV de ses Expériences physico-méchaniques , on a trouvé que l'angle dont la lumière se détourne par la réfraction en passant du vide dans l'air, ou d'un air d'une densité donnée dans un autre air d'une autre densité, est toujours proportionnel à la différence de la densité des deux milieux à travers lesquels la lumière passe; en sorte que, si z est l'angle d'incidence et z — Ç l'angle de réfraction, on aura toujours 'Ç proportionnel à l'excès de la densité du second milieu sur celle du premier; par conséquent, nommant cette différence de densité D, on aura Ç = raD, m étant un coefficient constant à l'égard de D, toutes les autres circonstances demeurant les mêmes.
Or, par la loi générale de la réfraction, on a, lorsque l'angle d'incidence z varie, les milieux restant les mêmes, ^-v — éçal à une quan-
sinz c ^
tité constante qu'on appelle la raison de réfraction, et qui dans l'air est très-peu différente de l'unité; en sorte que supposant cette raison égale à 1 — n, n étant une très-petite quantité, on aura
sin(z — Ç) = (1 — n) sinz;
d'où l'on voit que l'angle Ç est nécessairement très-petit de l'ordre de n, et qu'ainsi l'on pourra mettre, sans erreur sensible, sinz — Çcosz à la place de sin(z — Ç); ce qui donnera l'équation
'Ç cosz = «sin z,
savoir
'Ç = n tangz.
Donc, puisque l'angle très-petit Ç est proportionnel à D tant que z est constant, et que le même angle Ç est proportionnel à tangz lorsque I) est constant, il s'ensuit qu'on aura, en général, Ç dans la raison composée de D et de tangz; c'est-à-dire
'C = 1 D tangz, X étant un coefficient constant et indépendant de D et de z.
Or, dans une des expériences de M. Hawksbee dans laquelle le baromètre était à 29 pouces 7^ lignes et le thermomètre à 60 degrés, on a trouvé que l'angle d'incidence z étant 32 degrés, l'angle de réfraction z — 'Ç, en passant du vide dans l'air naturel, était de 3iof)o/24', ce qui donne par conséquent Ç = 3fi". Donc, puisque dans ce cas D doit être
égale à la densité naturelle de l'air qui est proportionnelle (3j à -
ou (5) à - — ^— -■> on aura dans l'expérience de M. Pïawksbee l'équation
3b" = — 2 — tang32°,
IH ë
où y dénote la hauteur du baromètre en lignes, et / les degrés du thermomètre de Réaumur au-dessus de r6°| (4).
Comme M. Hawksbee se servait d'un thermomètre particulier différent de celui de Réaumur, il faut, pour avoir la valeur de / qui convient a celte expérience, réduire les 60 degrés de son thermomètre à des degrés de Réaumur, ce qu'on peut faire aisément d'après les éclaircissements donnés par le traducteur de l'Ouvrage de M. Hawksbee; el l'on voit d'abord, par la Table de la page 172 de l'édition française, que 60 degrés de M. Hawksbee répondent à '17 degrés du thermomètre de la Société Royale, dans lequel le point de la congélation est à 77 degrés, et dont 5 degrés sont équivalents à 2 degrés de Réaumur (page 176), en sorte que les Go degrés dont il s'agit doivent répondre à 12 degrés de Réaumur; or 12= rG|— 4f; donc on aura dans le cas présent
t—-Ai.— - Iâ.
A l'égard de la valeur de y qui indique la hauteur A\\ baromètre, il semblerait qu'il n'y aurait qu'à prendre m) pouces 7 \ lignes, réduits en ligues; mais comme le pied anglais diffère un peu du pied de roi, la
proportion du premier au second étant de l35l à 1 \ \o, il faudra l'aire
Ainsi l'on aura
et de là
4 X 5. 1 5 84ix36"
ou plutôt
86o x 287 X logiox tang3a° 84isin36"
el
860 x 287 x log 10 X tang32° L. A =3,6i6 285 3.
11. Maintenant soit C le centre de la Terre, AB sa surface, CAV la verticale au point A, kpqr la courbe décrite par un rayon de lumière qui traverse l'atmosphère, plqm et qmr/i deux couches infiniment minces et concentriques à la Terre, dans chacune desquelles la densité de l'air est uniforme; nommons AC = CP = /% Vp — x, en sorte que Cp = r-i- x,
ACp = y, et l'amplitude de la courbe Ap = p; et il est clair que l'angle pqT (T<7 étant tangente en q) sera égal à dp, qu'en même temps cet angle sera celui qu'on a nommé ci-dessus 'Ç: de sorte qu'on aura
Ç = dp; de plus il est clair que l'angle qrt sera l'angle d'incidence du rayon 777 sur la couche qt, lequel a été nommé plus haut z, en sorte qu'on aura ici
,angz = ^ = -^-*.
et de là
rfcB = tangz.
Enfin, comme la réfraction n'est due qu'à la différence de densité des deux couches contigués pt et qr, il faudra prendre pour D, non la quantité j- qui est proportionnelle à la densité même en pq, mais sa différentielle, à laquelle il faudra donner le signe — , à cause que la densité est supposée diminuer à mesure que la hauteur x augmente; ainsi l'on aura
dx t
de soi'te qu'en faisant ces substitutions dans l'équation 'Ç — >* 1) lange, on aura celle-ci
</o = — f.d — X langz;
or il esl visihle que
dz angleCrg angle Cqp angle C g/ angle q Cr — angle C ç/>
= angle /^// — angle iji'.r - dp — r/-j ;
donc substituant pour rfp el <•/> les valeurs trouvées ci-dessus, et divisanl l'équation par tangz, on aura
dz . y log 10 dx
tniigz / r -4- x
équation intégrante, laquelle étanl intégrée en sorte que / soii la valeuj
de :•, et b, c colles de y, t lorsque x = o, on aura
sinz , /Mogio >"logio\ , r
log -— = 1 I - ^— \ "+- lOg - ; ,
sin Z c t \ r -h x
d'où l'on tire
'/. b losio
sinZ e sinz = -
ou bien, à cause de e'"?I° = io,
sin^ =
Or il est visible que Z est égal à l'angle YAT que l'ait avec la verticale VA la tangente AT de la courbe décrite par le rayon en traversant l'atmosphère; par conséquent Z sera la distance apparente de l'astre au zénith. De plus si l'on suppose que XY soit la tangente à la même courbe dans le point où le rayon entre dans l'atmosphère, il est clair que l'angle ZXY sera l'effet total de la réfraction, en sorte que la véritable hauteur de l'astre sera
9o° — Z — angle ZXY;
et il est clair en même temps que cet angle ZXY, formé par les deux tangentes AX et YX, sera l'amplitude totale de la courbe Apgr; c'est-àdire la valeur de p qui répond à toute l'étendue de la même courbe depuis le point A jusqu'au haut de l'atmosphère. D'où l'on voit que le Problème de la réfraction consiste à déterminer la valeur totale de p en Z.
Ainsi Z étant la distance apparente au zénith, p sera la réfraction, et la difficulté consistera à déterminer p en Z.
