DU PREMIER ORDRE

{ Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1772.)

1. Lorsqu'on a une fonction u de plusieurs variables ,r, y, z on

appelle différences partielles de u celles qui résultent de la différentiation de u en y faisant varier chacune des quantités x, y, :,... à part; ainsi, supposant que la valeur complète de du soit représentée par

pdx -+- qdy -+- rdz + . . . ,

les différents termes

pdx, <i<ly, rdz, . . .

de cette différentielle seront les différences partielles du premier ordre de //. On a coutume de représenter les coefficients />, q, r\... des différences dx, dy, d:,..., dans la différentielle de u, par -j-j ^=-, -r-v> de

1 dx dy dz sorte que la valeur complète de du sera représentée par

dit . du . du .

. OX I -T- dy • ■-.- dz -4- . . . . «// dy J dz

,• ■ 11 ,■ ' du du du

Ainsi, si I on a une équation entre u, x, y, z,... et -, •> , > ,,-■■• ce

' " dX '/)' dz

sera une équation à différences partielles du premier ordre: et c'est sur l'intégration de ce genre d'équations que je me propose ici de donner quelques nouveaux principes.

2. Supposons que a soit une fonction de x et de y seulement, et que

l'on ait pour la détermination de cette l'onction une équation en u, ce, y,

du du . , , f. ■ , , .... du du

-r—> -r-\ si I on tait pour plus de commodité j- = p. -.- = q, on aura

du pdx -+- qdy,

et l'équation donnée sera entre les cinq variables u, x, y. p. q: en sorte qu'on pourra par cette équation déterminer, par exemple, q en u. x, y, p; la quantité/? sera donc encore indéterminée, et la question se réduira à la déterminer de façon que l'équation

du = pdx -+- qdy, ou bien du — pdx — qdy = o

soit intégrable, ou d'elle-même, ou étant multipliée par un facteur quelconque.

Soit, en gênerai, \! le facteur que la dilï'erentiation aura pu faire disparaître, en sorte que la quantité

M ( du — p dx — q dj

soit une différentielle exacte d'une fonction de //, x, y que nous désignerons par N: on aura donc

^N , fi?N , r/N , »,»'■... », ,

r/N = -=— du H j— dx - -.— dr = Mak- M pdx — M<idr.

du dx "T

et de là

dK », û?N „ d\

Tu =M> dx~ ~MP> dr M<l

d'où l'on lire les conditions suivantes

dM d\Mp i/M d Mq d Mp d Mq

dx du dy du dr dx

par lesquelles il faudrait déterminer M et p. La dernière de ces équations

donne celle-ci

M(dp__dq\ dM dM ^

\dy dx) ' dy ' dx

■ ii i • dM. . dM , ,

laquelle, en substituant pour -7— et -j— leurs valeurs données par les

deux premières, devient

.. (dp <lq \ d Ma d(Mp

dy ■ dx j ' du y du

c'est-à-dire, en effaçant ce qui se détruit cl divisant le reste par .M.

dy dx ' du du

or, comme r/ est (hypothèse) une l'onction donnée de x, v, // et />, cette équation ne contiendra plus que l'inconnue j>\ e! la difficulté sera réduite à déterminer par son moyen la valeur de p en //., x, v.

3. Quoique de cette manière on ait trouvé l'équation qui doit servir a déterminer p. il parait qu'on n'a guère avance dans la solution du Problème proposé; car au lieu qu'on avait une équation entre x,y, u, ,-, pour la détermination de //, on en a maintenant une entre x, v. u, />,

dy ■ '

-/-, -/-, / pour la détermination de n, laquelle, a la considérer, en sèdx dy du ' ' '

neral. doit être au moins aussi difficile à résoudre que celle-là, si même elle ne l'esl pas davantage à cause qu'elle contient une variable (le plus. Il y a cependant une circonstance qui doit la l'aire regarder comme plus simple que la proposée, c'est que les différentielles dp et <l</ n'\ paraissent cpie sous une forme linéaire; d'ailleurs nous remarquerons qu'il ne

Sera pas nécessaire de résoudre celle équation d'une manière complète,

mais qu'il suffira de trouver une valeur quelconque île/; qui \ satisfasse, pourvu qu'elle contienne une constante arbitraire; car nous ferons voir

bientôt Comment, à Taule d'une telle valeur de />, ou pourra néanmoins parvenir a la solution générale cl complète (le l'équation proposée.

4. Pour l'aire voir d'une manière encore plus directe comment l'équation que nous venons de trouver pour la détermination de p peut servir à résoudre le Problème dont il s'agit, reprenons l'équation

du — p dx — q dy-=- o,

dans laquelle q est une fonction donnée dey», u, x, y, et où p est supposé une fonction de u, x, y telle, que l'équation soit întégrable, soit d'ellemême, soit à l'aide d'un multiplicateur quelconque. Qu'on suppose que l'une des trois variables u, x, y devienne constante, par exemple n, en sorte qu'on ait l'équation à deux variables

p dx -+- q dy = o ;

soit L le l'acteur qui rendra la différentielle pdx -+- qdy intégrable (facteur qu'on peut toujours trouver à posteriori dès qu'on aura intégré l'équation pdx -f- qdy = o) ; on aura donc

L p dx -+- q dy) — dt,

t étant une fonction de x et de y, dans laquelle u entrera aussi comme constante; par conséquent on aura

dt . dt

LP=dlc> L(i dj-

mais en regardant x, y et u comme variables à la fois, on a, pour la valeur complète de la différentielle dt.

donc on aura

dt . dt , dt ,

-t- dx H — ;- dy -i — — du :

dx a y ■ du

dt = Lp dx -t- L q dy -\ — j- du :

ainsi I équation

du

du — pdx — qdy : o, étant multipliée par L, deviendra celle-ci

L+£\du-dt = o,

qui devra donc être intégrable. Or comme / est une fonction comme de u, x, y, on aura réciproquement x égale à une fonction connue de /, m, y, de sorte qu'on pourra introduire la variable / à la place de la variable x; qu'on fasse donc cette substitution dans la quantité L-+--t->

et comme l'équation ne contient que les deux différentielles du et dl, il est clair qu'elle ne pourra être intégrable à moins que la variable y ne

disparaisse entièrement de la quantité L -\--r-- Supposons, pour abréger, cette quantité égale à P, et il faudra qu'en substituant dans P, à la place de x, sa valeur en y, a et /, la variable y s'en aille en même temps que x; donc aussi si, dans la différentielle

m dp i <lv i dv /

(IV = -j— dx H — j— dy -\ — ï— du,

dx il y du

on substitue pour dx sa valeur tirée de l'équation

dl -— hpdx -h Lqdr -+- -, du, 1 ' au

il faudra que la différentielle dy disparaisse; mais, la substitution faite, on a

. dl — Lqdjr - du .

,,, (IV ' • du dV , (IV ,

(IV = -j— — — h -r- dy + --. du;

dx Lp dy • du

savoir

dp — —— (dV 1 dï>\ d (— — — ' \ d

dx Lp ' dy p dx I ■ \ du du dx Lp I

doue il faudra qu'on ail

Oi

dV q dV >/v p dx

du

donc ou aura celle équation de condition

dV. d i q id\. d i .

(h dut/y p d i dudx

mais on a déjà

dt t dt

dx = LP' dr = L(l'

donc on aura

d2t d\Lp) dp dL du d{Lq) dq dL

dx du du du du d) • du du ' du du

donc l'équation précédente deviendra

dL dq dh q / dL dp d\.

dy J du du p \ dx ^ du

savoir, en otant ce qui se détruit,

^n^-îft + LtUo.

du' ~°'

dy d p \ dx " du

De plus les mêmes équations

donnent

savoir

dt dt

dx = LP> dy = Lli

d(Lp) = d(Lq) dy dx

dL dp dL dq

' dy dy " dx dx ~

donc, retranchant de cette équation la précédente multipliée par p, et divisant le reste par L, on aura celle-ci

dy dx ' du du

qui est, comme on voit, la même qu'on a trouvée plus haut.

5. Ainsi, dès qu'on aura satisfait à l'équation précédente par le moyen de la valeur de p, on sera assuré qu'en chassant x de la quantité

P = L + -t-, du

par l'introduction de la variable /, la quantité^ s'en ira en même temps, de sorte qu'on aura alors l'équation à deux variables

Pdu — dt — o.

Soit doue L' la fonction de // et de / par laquelle il faudra multiplier maintenant la différentielle

Pdu - di

pour la rendre intégrable fonction qu'on pourra toujours trouver par l'intégration de l'équation Vdu — dt - o , et comme

L'iP </«-<//

sera une différentielle exacte d'une fonction de // et /. si l'on remet à la place de / sa valeur en u, a? et y, ce qui . à cause de

dt = Lpdx -+- Lad)- H — j- du, V L H — =- , ' * • du du

transforme la différentielle dont il s'aeil en celle-ci

L' Ldu Lpdx — Lqdjr),

il est évident que celte dernière différentielle sera pareillement nue différentielle exacte d'une fonction de u, x et\y; d'où il s'ensuit que L'L sera le facteur propre ii rendre intégrable la différentielle

et qu'ainsi l'on aura (2)

du pdx qdjr,

de sorte que connaissant L et L', on connaîtra sur-le-champ le facteur M, et de lii par l'intégration on pourra connaître la valeur de la fonction finie

M du /></> qdjr .

(i. Ou voit doue clairement par l'analyse précédente que la solution du Problème ne dépend que de la recherche de la quantité /; a l'aide de

55(i SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS

l'équation de condition

dp du du dp

dy dx ' du du

laquelle est connue depuis longtemps; car, dès que cette condition sein l'emplie, on pourra toujours trouver le multiplicateur M, qui rendra intégrable l'équation

du — pdx — qdy — o,

et l'intégration donnera ensuite la valeur cherchée de u en x et y.

Si la valeur de p, qui satisfait à l'équation de condition, a toute la généralité que cette équation comporte, on aura par son moyen la valeur complète de u; mais si la valeur de p n'est que particulière, on ne trouvera d'abord qu'une valeur particulière et incomplète de la fonction cherchée u; cependant si la valeur particulière de p est telle, qu'elle renferme une constante arbitraire, on pourra compléter la valeur de u de la manière suivante. On cherchera d'abord, d'après cette valeur particulière de/?, le multiplicateur M, qui rendra intégrable la différentielle

du — p dx — q dy,

cl l'on aura, en intégrant, l'équation

M {du — pdx — (jdy) = une ronst.

Désignons, pour plus de simplicité, par N la quantité

M {du — pdx — qdy),

qui sera nécessairement une fonction finie de u, oc et y; soit de plus y. la constante arbitraire qui entre dans la valeur de p, et il est clair que celte constante entrera aussi comme telle dans l'expression de N; supposons maintenant que cette même quantité a, au lieu d'être constante, soit aussi une fonction variable, et il est visible que dans ce cas la différentielle

complète de N ne sera plus simplement

M du — pdx — qdy , mais

M ( du — p dx — (i dy) -\ .— dx ;

1 ' ■ dx

de sorte qu'on aura, dans l'hypothèse de la variabilité de y.

N - / M du — pdx — q dy + j -j— da, et par conséquent

/ M I du — pdx — q dy ) = N — I —j— d y .

Donc, si pour satisfaire aux conditions du Problème on veul que la différentielle

M \du — pdx — qdy

<l\ soi! intéerable d'elle-même, il faudra que la différentielle -y—da le soit & M dx

aussi en particulier; ce qui ne saurait évidemment avoir lieu, à moins

rfN .. ... . .

que -j— ne soit une fonction quelconque de a.

Que f(<x) dénote donc une fonction quelconque de », el supposant dfiçc)

/ oc) = -t1— » on fera

équation par laquelle on pourra déterminer a. Ensuite on aura

/''/N / J lly da J y. ;

donc

/ M du pda qdy \ /(«'•;

de la on aura l'équation intégrale

n f y une const.,

ou bien simplement

[à cause que la constante peut être censée renfermée dans la fonction /(oc)], laquelle servira à trouver la valeur de la fonction //; et il est clair que cette valeur de u sera complète, puisqu'elle contiendra une fonction arbitraire.