PKOBLÈME DU MOUVEMENT DE ROTATION

QUI n'est animé par \ut \k force accélératrice.

Nouveaux Mémoires de /' tcadémie royale tics Sciences ci Belles-Lettres

de Berlin, année 1773.1

Ce Problème, l'un des plus curieux et des plus difficiles de la Mécanique, a déjà été résolu par M. Euler dans les Mémoires de celle Académie pour l'année i 7 5H, et dans le tome III de sa Mécanique. M. d'Alemliert l'a résolu aussi dans ses Opuscules. Les solutions de ces deux grands Géomètres sont fort différentes quant à la méthode, mais elles son( fondées l'une et l'autre sur la considération mécanique de la rotation (\\\ corps autour d'un axe mobile, et elles supposent qu'on connaisse la position de ses trois axes de rotation uniforme; ce qui exige la résolulion d'une équation cubique. Cependant, à considérer le Problème en lui-même, il semble qu'on devrait pouvoir le résoudre directemenl et indépendamment des propriétés des axes de rotation, propriétés dont la démonstration est assez difficile, ci <|iii devraient d'ailleurs être plutôt des conséquences de la solution même (pie les fondements de celte solution. En effet, si l'on imagine un système d'un nombre indéfini de corps considérés comme des points et lies ensemble de manière que leurs dislances mutuelles restent toujours les mêmes, el qu'on cherche le mouvement de ce système après qu'il aura reçu une impulsion quelconque,

c'est une question qui ne dépend que des principes ordinaires de la Dynamique, et qui ne demande d'autres secours que ceux que l'Analyse elle-même peut fournir.

J'ai donc cru que ce serait un travail avantageux aux progrès de l'une et de l'autre de ces deux sciences que de chercher une solution tout à fait directe et purement analytique de la question dont il s'agit; c'est l'objet que je me suis proposé de remplir dans ce Mémoire; les difficultés qu'il présente m'ont arrêté longtemps, mais enfin j'ai trouvé moyen de les surmonter par une méthode assez singulière et entièrement nouvelle, qui me parait digne de l'attention des Géomètres.

Le mérite de ma solution, si elle en a quelqu'un, consiste donc uniquement dans l'Analyse que j'y emploie, et qui renferme différents artifices de calcul assez remarquables, ainsi que plusieurs formules nouvelles et utiles dans bien des cas; c'est par cette raison surtout que j'espère qu'on me pardonnera d'avoir entrepris de traiter un sujet qui a déjà été si savammemt discuté par deux des premiers Géomètres de ce siècle. D'ailleurs mes recherches n'ont rien de commun avec les leurs que le Problème qui en fait l'objet ; et c'est toujours contribuer à l'avancement des Mathématiques que de montrer comment on peut résoudre les mêmes questions et parvenir aux mêmes résultats par des voies très-différentes; les méthodes se prêtent par ce moyen un jour mutuel et en acquièrent souvent un plus grand degré d'évidence et de généralité.

Lemme.

I . Soient neuf quantités quelconques x, y, z, x' , y' , z', x", y", z", je dis qu'on aura cette équation identique

-+- 2 f xx' -t- y y' -+- z z' ) i xx" ■+- y y" -+- zz") x' x" -+- y' y" -+- z'z"

— [x'2-\- y'7 -i- z'2 1 (xx" -\- yy" -t- zz" -

— .*-'"--+- )•"--+- z'" (xx' -+- yy' -h zz' •'.

2. Corollaire I. — Donc, si l'on a entre les neuf quantités précédentes ces six équations

X2 j yi + Z2 =a> x'x"-\- y'y"-+- z'z"= b,

x'-i , y 2 + zii a' j xx" -+-yy" -+- zz" — b', x"2 -f-jr"2 -f- z"2 = a", xx'.+yy' -+- zz' = 6",

et qu'on fasse, pour abréger,

°>=V>aa'a"+ i.bb'b"- ab'-a'h"- a"b"\ on aura

x\ + yn -h zt — p.

On aura de plus les équations identiques suivantes

x' l +y'n + z'Z ■ o, x"\ -+- y" -n -+- z"t = o, £a -h rf ■+■ Ça = '/'«" - 62, )•' 'Ç — z'r, = bx' — a'x", y" 'C — z"n : a" x' — bx" , z'I — x% = by' — a'y", z"£— *"Ç a"y'—by", x'-i) —y''i bz' - a'z", x"r, — y"'i a"z' bz",

qui sont très-faciles à vérifier par le calcul.

'.\. Corollaire II. — Si l'on prend les trois équations

x\ -+■ yr, ■+■ zÇ — |3, xjr' -f- )•)' ■+- zz' = b",

XX + V) ' - Z Z" r- />',

et qu'on en tire les valeurs des quantités r. v, s, on aura par les formule

connues

r',7 /,' f . /, , ■ h f[.i iy

582 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT loue, faisant les substitutions du numéro précédent et supposant, pour

aoreger, on aura

y. a' a" — lr, Pl + \ a"b" — bb')x' + {a'b'—b b" x"

S 7] + [a"b"— bb')r' -+- a'b' — h b" r'

|3 r + «"&" -bb')z' + { a'b' - b b" z '

4. Corollaire III. — Si l'on l'ait varier les quantités x , r , z', a . y ", z", en regardant comme constantes les quantités a , a" et A, el qu'on

suppose

x" dx' ■+■ y" dy' ■+ z"dz'= dxs,

\dx' + v;<:/r' + £c?z' = t/'l, grfar* + •/;</)'" + Zdz"=d<p,

on aura, en vertu des équations du Corollaire I, ces six autres-ci

x'd.r' -\-y'dy' -+- z'dz' = o, x"dxr -■- y"dy" -+- z"dz"— o,

i d i -r 7J û?7i H- £ rf£ = O,

.?•'</.*•' -+- y'dy" + z'dz" — ~ dm, x'd'c -+-r'dr, + z'd'Ç = — dty, v"d\ H- y"dr, -+-z"d'Ç,= — r/o.

el à Taule de ces neuf équations on pourra déterminer les neuf différentielles de, dr,, d'C., dx ', dy', dz', dx" , dy" , dz" par des opérations et des réductions semblables à celles du numéro précédent.

il n'y aura pour cet effet qu'à changer, dans les expressions de r.y, z, les quantités jS, b', b", d'abord en o, — r/o, dty, ensuite en dL. dv,, o, cl enfin en de>, o, drz, <'l l'on aura

dl

x'(bdy — a"d'b + x"\bd'l - a'dy

b da> - <i" d<\i •+- y bddi - - a'd(B

z'(bdy — a"d<\> ) -+- z"(bd<\> — a'dy) , , id'l) — I bx' — a! x" ) dts