III

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Os équations étant élevées chacune au carré, et ensuite ajoutées ensemble, donnent d'abord (en vertu des formules du n° 2, et à cause de a' = i, a"=i, b = o) celle-ci, où les quantités oc', y', z , x",... ne se trouvent plus,

F^-G^-N^ dt dt dt

De plus, si l'on ajoute ensemble les carrés des valeurs de dx, dy, dz trouvées ci-dessus, on aura, en ayant égard aux mêmes formules du n° 2,

dx2 + dy2 -+- dz- r= ( p dy + q d^\/ f2 + i /</'.{; + p </îd )* + (/ a? et — /' dy )! = ( p2 + r2 ) J92 + f q2 -+- /•'•' ) d'Y2 -+- [p3 -+- q2 ; dm2 -I- 2^*7 dodty -h iprd'tydm — iqrdodm;

donc multipliant par iïm, intégrant par rapport à la caractéristique]^]? et faisant les substitutions ci-dessus, on aura, en vertu de l'équation (4)f celle-ci

„ dm2 . d^2 XT dm2 T1 Jo dd> ~ dû/ dis „ do dm n,

' q ) M -j2- + L -^- -f- N -5 h 2H -X ->-- + iiG -ji -= 2F-r--r = D*.

rf/- ofP rf/* rf/ a7 c// dt dt dt

Ainsi voilà déjà deux équations (8) et (9) qui ne renferment que les

• • do d<\> dm i 11 ,

trois inconnues -j-, -j-i -r--> et par lesquelles on pourra par conséquent

déterminer deux quelconques d'entre elles par la troisième.

Faisons pour plus de simplicité

dt dt de

., do di) , dm

= H ^+L^+Gfe dt dt dt

et les deux équations dont nous venons de parler pourront se mettre sous cette forme assez simple

■ i . dm do d^ ■

\'-dt-^JlTt+v-dt=^

Tirant donc des trois équations ci-dessus les valeurs de -.-> -^-» -5-

1 of <// dt

en À, jLt, v, et les substituant dans la seconde des deux équations (11), on aura deux équations en À, f/., v à l'aide desquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de ju. et v en À; de sorte qu'il ne restera plus qu'à connaître )..

Pour cela je reprends les trois équations (5), (6), (7), lesquelles par l'introduction des quantités X, u., v se réduisent à celte forme

/ Cl 4- 2 'y. — 2"v = A,

et ajoutant ensemble ces équations après les avoir multipliées, la première par 'Ç, la seconde par y;, et la troisième par §, j'ai par les formules

du 11" 2

J'aurai de même en multipliant ces équations respectivement par dç, dy, <-/£, ei les ajoutant ensuite ensemble, en avant égard aux formules

du M" ï.

u d l +vrf<p \ di \\d(, l-Cd

59G NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT Mais l'équation précédente donne par la différentiation

dï = Adi:-{-Bdn -+- C c/ S ;

donc on aura

dl = — fidty -h y do,

et par conséquent

d). i » -j- -j- = dt.

dû p do

~ P TTT ' V lit

k ■ - dû . do , , -, . . .,

Ainsi, comme -jj et —,~ sont donnes en X, y., v, et (jue u., v sont déjà

connus en X, celle équation ne contiendra (jue les deux variables / et X déjà séparées, et donnera par conséquent par l'intégration la valeur de t en X, et vice versa celle de X en t; ainsi l'on connaîtra les quantités X, a, v par des fonctions du temps t.

Pour pouvoir connaître maintenant le mouvement de chaque point du corps, nommons, comme ci-dessus, x, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position instantanée d'un point quelconque donné du corps, dans l'espace, et soient de mëmep, g, r les coordonnées rectangles qui déterminent la position du même point dans le corps même; on aura donc comme ci-devant

y - nr+r'q + y"p, z — 'Çr -h z'q + z" p,

d'où l'on tire d'abord l'équation

Ensuite, faisant, pour abréger,

= pq

do dt

+ pr

dm HT

+ ra

dû W

= qr

dm HT

— pq

dû

= qr

do HT

~pr