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on aura aussi

ydx - xdy — (ÇR + z' Q -\- z"P) dt,

xdz — zdx = {nY{ +r'Q -4- y"P)dt,

zdy — ydz = ( \ R + a;' Q -+- a?" P rf/ .

Ces trois équations, ainsi que les trois précédentes, étant multipliées respectivement par les équations (12), et les produits étant ajoutes ensemble, il viendra, en vertu des formules du n° 2, ces deux équations-ci

16 K ydx — xdy -h B' xdz — zdx) -+- C{zdy — ydz) = R/. -f Q y Pv <//,

lesquelles, étant combinées avec l'équation fi4) ci-dessus, serviront à déterminer les trois inconnues x, y, z.

Je remarque d'abord que si les deux constantes arbitraires H et C étaient nulles, la détermination dont il s'agit n'aurait aucune difficulté; car faisant, pour abréger,

9 = r'i. ■+ <j y. pv, 0 = RX + Q/a — Pv,

(5 et (-) étant des fonctions connues de l, et « une constante qui exprime la distance du point donné du corps au centre autour duquel il se meut), l'équation 1 5) donnera d'abord

et l'équation \ \ t donnera Ensuite l'équation i<i donnera

laquelle étanl divisée pur la précédente, on aura celte équation intégrable

ydx > (h \ <-)c//

xdy

Soit donc, pour abréger,

./ A2«2-ÔJ'

et l'on aura

<l'où, à cause rie

Aiddt f = tangT,

on tire

jA'n'—fr i/A2n2 — 62 . x=z- eosT, j= ï t sinl.

Mais, pour ne pas borner notre solution au cas de B = o et C = o, je vais résoudre les trois équations (i4). (i5) et (16) dans toute leur généralité.

Je fais pour cela

v/A'-f-BM-C2 ° y/A2 + B2 + C2 v^' + B'^ + C2'

d'où

k = kf, B = hg, C = /,7*; ;

en sorte qu'on ait

et je prends six autres quantités/', g', h',/", g", h", entre lesquelles et les trois quantités/, g, h j'établis les mêmes rapports qu'entre les quantités oc, y, z, x', y', z ', x", y", z" du n° 2, en y supposant

a = a' = a"=i et b = b'=b"=o;

j'aurai donc aussi entre ces mêmes quantités/, g, h,/', g', . . . des relations analogues à celles qu'on a trouvées dans le n° 7 entre x, y, z, x', y',..., en sorte que prenant à volonté les trois quantités/, g,/', on pourra par leur moyen déterminer les six autres.

Cela posé, je suppose encore

f z ~*~ 8 ' X + hsc — Z, f'z-hg'y + h'x = Y,

j'aurai d'abord, en ajoutant ensemble les carrés de ces trois équations,

;i cause des relations établies entre les quantités/', g, h,/', g', h',... (2); ainsi l'on aura par l'équation (i4j

Ensuite l'équation (i5) deviendra

kZ = 6.

Or si l'on cherche la valeur de YdX — XdY, on la trouvera égale à

g' h" - h' g") iydx — xdy) -h h'f" - f'h" xdz — z dx + (f'gtt-g,f"){zdr-ydz);

mais, par les formules du n° 7, on aura

g'h"-h'g"=f, h'f"-f'h"=g, f'g"- ■■ hT h,

donc l'équation fi6) deviendra

Ainsi l'on a maintenant entre X, Y et Z les mêmes équations qu'on a nies ci-dessus entre x, v, ; dans le cas de B = o et C = o, avec cette seule différence qu'il y a ici £ a la place de A. On aura donc sur-le-champ

v/.'/i2-Ô2 . J¥nl g» . ... 0 X=v v— -rosi, \ -ni I , / .-

n li h

A\;nit les valeurs de X, Y, Z, on tirera des formules précédentes celles

de a , v, z, cl l'on aura (7) par les relations qui doivent avoir lieu entre

()()() NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT les coefficients/, g, h,/', g', h',...

x = hZ + h'Y + h"\, r = gZ + g'Y + g"X, z=/Z+/'Y+/"X.

Il faut remarquer <jue la quantité f demeure indéterminée; de sorte qu'on pourra lui donner telle valeur qu'on voudra, sans déroger en rien à la généralité de la solution.

9. Remarque I. - - Si l'on tire des trois équations (ioj du numéro précédent les valeurs de -jj, -p-, -^5 on aura, en faisant, pour abréger,

A = LMN - 2FGH - F2L - G2M - H2N,

ces expressions

tf? (GH + FL)^ + (LN — G'j^ — (FG + H.N v dt ~ A

d<\> __ - ( FH ■+- GM ) l — ( FG h- HN ) ^ -+ ( MN - F v ~di~~ A

dv (LM — H2) > . -f- (GH -f- FL ) p : — ( FH + GM i v dt~ A

qui, étant substituées dans la seconde des équations 1 1 1), la réduiront à cette forme